Representaciones de funciones por medio de Series de Taylor

Sin ninguna duda has querido poner

f(x) = e^(2x)

ya que f(x) = e^2 es una constante y el polinomio de la función es

p(x) = e^2

y ya está, ya no tiene má trabajo

Vamos a calcular las derivadas hasta la quinta de f(x) = e^(2x)

f '(x) = 2e^(2x) ==> f '(0) = 2

f ''(x) = 4e^(2x) ==> f ''(0) = 4

f '''(x) = 8e^(2x) ==> f '''(0) = 8

f ''''(x) = 16e^(2x) ==> f ''''(0) = 16

f '''''(x) = 32e^(2x) ==> f '''''(0) = 32

Y ahora usamos la formula de Taylor

$$\begin{align}&f(x) = f(0) + f´(0)x+\frac{f´´(0)}{2}x^2+\frac{f´´´(0)}{6}x^3+···\\ &\\ &p_0(x) = 1\\ &\\ &p_1(x) = 1+2x\\ &\\ &p_2(x) = 1+2x +\frac 46 x^2 = 1+2x +\frac 23 x^2\\ &\\ &p_3(x) = 1+2x+\frac 23x^2+\frac{8}{24}x^3=1+2x+\frac 23x^2+\frac 13x^3\\ &\\ &p_4(x) = 1+2x+\frac 23x^2+\frac 13x^3+\frac{16}{120}x^4=\\ &\\ &1+2x+\frac 23x^2+\frac 13x^3+\frac{2}{15}x^4\\ &\\ &\\ &p_5(x)=1+2x+\frac 23x^2+\frac 13x^3+\frac{2}{15}x^4+\frac{32}{720}x^5=\\ &\\ &1+2x+\frac 23x^2+\frac 13x^3+\frac{2}{15}x^4+\frac{2}{45}x^5\end{align}$$

Y eso es todo.