Son permutaciones pares?

5.7)

Si todas son pares ya está, luego vamos a examinar el caso de que haya alguna impar.

Sea s una permutación impar de H y sea T el conjunto de todas las impares de H

Hacemos el conjunto producto s·T = { s·t | t € T},

s·T esta incluido en H porque s€H y T includio en H

Todos los elementos de s·T son pares ya que el producto de dos permutaciones impares es una permutación par.

Y ya sabemos que por tratarse de un grupo

s·t1 = s·t2 <==> t1=t2

Luego toda impar se puede asociar con una par

impares <= pares

Y si tomamos el conjunto P de las permutaciones pares de H podemos hacer el conjunto

s·P que esta incluido en H y cuyas permutaciones son impares. Luego ahora tenemos que cada permutación par de H la podemos asociar con una permutación impar de H, luego

pares <= impares

Como consecuencia de ambas desigualdades, tenemos que el numero de permutaciones pares es igual que el de las impares.

Asi que el numero de permutaciones pares es la mitad como dice el enunciado.

Y eso es todo.