Propiedades de los supremos de dos conjuntos.
Para conjuntos no vacíos A, B en los Reales, determínese cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos. Demuéstrense los enunciados verdaderos y búsquese un contra-ejemplo para los falsos.
a) sup (A intersección B) <= inf { sup(A), sup(B) }.
b) sup (A intersección B) = inf { sup (A), sup(B) }.
c) sup (A unión B) >= sup { sup(A), sup(B) }
d) sup (A unión B) = sup { sup(A), sup(B) }.
2 Respuestas
a) Es verdadero.
Usaré la n como símbolo de intersección
AnB incluido en A luego Sup(AnB) <= sup(A)
AnB incluido en B luego Sup(AnB) <= sup(B)
Luego sup(AnB) <= min{sup(A), sup(B)} = inf{sup(A),sup(B)}=
b) Falso
A = {1, 3, 5} Sup(A) = 5
B = {2, 3, 4} Sup(B) = 4
AnC = {3} Sup(AnB) = 3
c) Verdadero
A incluido en AUB luego Sup(A) <= Sup(AUB)
B incluido en AUB luego Sup(B) <= Sup(AUB)
Luego Sup(AUB) >= max{Sup(A), Sup(B)} = sup{sup(A), sup(B)}
d) Verdadero.
Ya veíamos en C que el supremo del conjunto unión debía ser mayor o igual que el supremo de los dos supremos.
Sea x € AUB
x€A o x€B
Si x€A x<=sup(A)
si x€B x<=sup(B)
x<=sup{sup(A), sup(B)}
Luego todo x € AUB es menor o igual que sup{sup(A), sup(B)}
Si sup(AUB) > sup{sup(A), sup(B)} habría contradicción ya que sup(AUB) no no sería la menor de las cotas superiores de AUB
Y eso es todo.
Me podías explicar mejor las dos últimas conclusiones? gracias.
No sé exactamente si te refieres solo al apartado d o a los apartados c y d.
En el apartado d comenzamos partiendo del apartado c por lo que ya sabemos
sup (A unión B) >= sup { sup(A), sup(B) }
Y lo que queremos demostrar es que sobra el signo de desigualdad >
En esta parte
Sea x € AUB
x€A o x€B
Si x€A x<=sup(A)
si x€B x<=sup(B)
x<=sup{sup(A), sup(B)}
Hemos demostrado que sup{sup(A), sup(B)} es una cota superior de AUB.
Pero por definición Sup(AUB) es la menor de las cotas superiores de AUB
Si se diese la desigualdad estricta
Sup (A unión B) > sup { sup(A), sup(B) }
Sería una contradicción porque habría una cota superior menor que el supremo.
Luego no puede darse la desigualdad y lo que se da es la igualdad únicamente
sup (A unión B) = sup { sup(A), sup(B) }
Y eso es todo.
Digo al principio que por el apartado c) se cumple Sup(AUB) >= max{Sup(A), Sup(B)} y luego demuestro que si Si sup(AUB) > sup{sup(A), sup(B)} habría contradicción, luego la única opción que queda es la igualdad. - Valero Angel Serrano Mercadal
Dem. max{sup A, sup B}<=sup(AUB). Sea u=sup(AUB), entonces existen x0 e y0 tales que u>=x0>y para todo y en B o u>=y0>x para todo x en A. Por lo tanto, u>= sup A >= sup B o u>=sup B>= sup A. Equivalentemente, u>=max{sup A, sup B}. - Rodrigo Gutierrez