Ayuda ejercicio 18 pagina 153

Los libros de termodinámica usan la relación

$$\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)=-1$$

Explicar el significado de esta ecuación y demostrar que es cierta.[Indicación. Comenzár con una relación F(x,y,z)=0 que define x=f(y,z), y=g(x,z) y z=h(x,y) y derivar implícitamente.

Es el producto de unas derivadas parciales donde las variables independientes a veces son variables y otras veces funciones.

Hagamos lo que dicen.

$$\begin{align}&F(x,y,z)=0\\ &\\ &\text{derivamos implicitamente respecto a x,y,z}\\ &\\ &\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ &\\ &\\ &\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=0\\ &\\ &\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial z}=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)=\\ &\\ &\frac{-\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}·\frac{-\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}·\frac{-\frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}}{\frac{\partial F}{\partial x}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial z}+····}{\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial z}}\\ &\\ &\end{align}$$

Voy a dejarlo, no sé si eso que he hecho es lo que había que hacer. Es harto pesado comprobar si los siete sumandos que quedan suman 0 y escribir todo esto en LaTeX es un castigo inhumano.

valeroasm hay que demostrar que todo eso es igual a cero o igual a -1. es que no se como terminarlo. realmente no se que me tiene que dar. otra cosa, no se si esa multiplicación es producto punto o producto normal no se, acláreme.

La penúltima línea es el producto normal de tres factores enteros. Como cada uno tiene dos sumandos salen 8 sumandos al desarrollarlo. Pero ya con el primeros vemos que tenemos el -1 que debería ser el resultado, luego los otros 7 deberían sumar 0.

Pero fíjate todo lo que hay que escribir para que salga bonito, esto es solo la última linea de lo de arriba

frac{-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial z}+····}{\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial z}}

Y faltan 7 de esos, se vuelve uno loco.

Déjame que lo haga sin editor de ecuaciones

Fx será parcial F respecto x

Fy será parcial F respecto y

Fz será parcial F respecto z

Xz parcial de x respecto z

Xy parcial de x respecto y

Etc.

= (-Fx·Fy·Fz - Fx·Fy·Fy·Yz - Fx·Fx·Xy·Fz - Fx·Fx·Xy·Fy·Yz -

Fz·Zx·Fy·Fz - Fz·Zx·Fy·Fy·Yz - Fz·Zx·Fx·Xy·Fz - Fz·Zx·Fx·Xy·Fy·Yz) / (Fy·Fz·Fx) =

Ahora aplicamos reglas de la cadena como que Xy·Yz = Xz

= (-Fx·Fy·Fz - Fx·Fy·Fy·Yz - Fx·Fx·Xy·Fz - Fx·Fx·Xz·Fy -
Fz·Zx·Fy·Fz - Fz·Fy·Fy·Yx - Fz·Zy·Fx·Fz - Fz·Zy·Fx·Fy·Yz) / (Fy·Fz·Fx) =

(-Fx·Fy·Fz - Fx·Fy·Fy·Yz - Fx·Fx·Xy·Fz - Fx·Fx·Xz·Fy -
Fz·Zx·Fy·Fz - Fz·Fy·Fy·Yx - Fz·Zy·Fx·Fz - Fz·Zz·Fx·Fy) / (Fy·Fz·Fx) =

Zz = 1 luego

(-Fx·Fy·Fz - Fx·Fy·Fy·Yz - Fx·Fx·Xy·Fz - Fx·Fx·Xz·Fy -
Fz·Zx·Fy·Fz - Fz·Fy·Fy·Yx - Fz·Zy·Fx·Fz - Fz·Fx·Fy) / (Fy·Fz·Fx) =

-Fx·Fy·Fz(1 + Yz + Xy +Xz + Zx + Yx + Zy +1) / (Fy·Fz·Fx) =

- (1 + Yz + Xy + Xz + Zx + Yx + Zy +1) =

Ahora se aplica la derivada de la función inversa

Xy = 1/Yx

= -(2 + Yz + 1/Yz + Xy + 1/Xy + Xz + 1/Xz) =

- [2 + (Yz^2 +1) / Yz + (Xy^2 +1)/Xy + (Xz^2+1)/Xz] =

Y de aquí no vamos a llegar a ningún sitio...

Deja la pregunta abierta, cuando tenga tiempo veré si puedo hacer algo.

entiendo.

valeroasm de donde sacaste ese factor común? si se puede hacer ? estuve revisando y eso no cuadra.