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5.141)
Por el teorema 5.14 tenemos
E(Y2) = E[E(Y2|Y1)]
Calculamos primero E(Y2|Y1=y1)
$$\begin{align}&E(Y_2|Y_1=y_1) = \int_{-\infty}^{+\infty} y_2 f(y_2|y_1)dy_2=\\ &\\ &\text{Como } 0\le y_2 \le y_1\\ &\\ &\\ &=\int_0^{y_1}y_2 \frac{1}{y_1}dy_2 = \frac{1}{y_1}\left[\frac{y_2^2}{2} \right]_0^{y_1}=\frac{y_1}{2}\\ &\\ &\\ &E(Y_2|Y_1) = \frac{Y_1}{2}\\ &\\ &\\ &E(Y_2)= E[E(Y_2|Y_1)]=E(Y_1/2)=\frac 12E(Y_1)\\ &\\ &\text{La esperanza de Y1 ya nos la da el enunciado, es }\lambda\\ &\\ &E(Y_2) =\frac{\lambda}{2}\end{align}$$Y para la varianza usaremos el teorema 5.15
V(Y2) = E[V(Y2|Y1)] + V[E(Y2|Y1)]
Calculamos primero el segundo sumando. Ya habíamos calculado
E(Y2|Y1)=(Y1)/2
V[E(Y2|Y1) = V[(Y1)/2] = (1/4)V(Y1) =
Si la media de Y1 es lambda el parámetro de la exponencial es 1/lambda y la varianza es el cuadrado del inverso del parámetro
(1/4) [1/(1/lambda^2)] = (lambda^2)/4
Y ahora calculamos el primer sumando E[V(Y2|Y1)]. Primero calculamos el interior del corchete.
Según define el libro en la página 287
V(Y2|Y1=y1) = E[(Y2)^2 | Y1=y1] - [E(Y2|Y1=y1)]^2
$$\begin{align}&E(Y_2^2|Y_1=y_1) = \int_{-\infty}^{+\infty} y_2^2 f(y_2|y_1)dy_2=\\ &\\ &\text{Como } 0\le y_2 \le y_1\\ &\\ &\\ &=\int_0^{y_1}y_2^2 \frac{1}{y_1}dy_2 = \frac{1}{y_1}\left[\frac{y_2^3}{3} \right]_0^{y_1}=\frac{y_1^2}{3}\\ &\\ &\\ &E(Y_2^2|Y_1=y_1) = \frac{y_1^2}{3}\\ &\end{align}$$Y ya estaba calculado antes que E(Y2|Y1=y1) = (y1)/2
V(Y2|Y1=y1) = [(y1)^2]/3 - [(y1)/2]^2 = (1/3 - 1/4)[(y1)^2] = [(y1)^2]/12
V(Y2|Y1) = [(Y1)^2]/12
Y ahora calculamos le esperanza de esa varianza
E[V(Y2|Y1)] = E {[(Y1)^2]/12} = (1/12) E[(Y1)^2]
$$\begin{align}&\frac{1}{12}E[Y_1^2]=\frac{1}{12}\int_0^{+\infty}y_1^2 \frac {1}{\lambda}e^{-\frac {y_1}{\lambda}}dy_1= ... =\\ &\\ &\text{Se integra por partes en dos veces y da}\\ &\\ &= \frac{\lambda^2}{6}\\ &\\ &\end{align}$$Ya estamos llegando al final.
$$V(Y_2) = E[V(Y_2|Y_1)] + V[E(Y_2|Y_1)] = \frac{\lambda^2}{6}+\frac{\lambda^2}{4}=\frac{10\lambda^2}{24}$$Pues esto ya lo hice anoche y no puedo mantener más tiempo encendido el ordenador, lo voy a tener que mandar aunque no coincide con la solución del libro. Algunas veces las soluciones estaban mal. Esta vez no lo puedo asegurar porque el tema este es completamente nuevo para mi y no tengo la seguridad de haberlo hecho bien. Tampoco voy a poder estar revisándolo y revisándolo hasta que coincida con el libro o tenga la seguridad completa porque entonces voy a tener que dejar de atender otras preguntas. Si voy progresando en la materia y tengo tiempo ya lo revisaré.
