Calculo de volumen
Sr dark_man : Dispongo de un tanque cilíndrico, cerrado con una media esfera en cada extremo. El mismo se encuentra en posición horizontal. Desearía conocer una expresión canónica, de como varía en volumen del líquido contenido en función de la altura.
Desde ya muchas gracias.
Ricardo
Desde ya muchas gracias.
Ricardo
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Respuesta
1
Supongo que tienes algo así:
____
(____)
Sea por la altura; primero x<R siendo R el radio del cilindro y de la esfera.
Podemos calcular el volumen ocupado del cilindro y de la esfera por separado. Si el primero es V1 y el segundo V2, el volumen ocupado es V = V1 + 2·V2
V1:
El plano horizontal a la altura x divide el círculo de radio R en dos. Podemos visualizar el círculo de frente, siendo entonces el plano a altura x una línea horizontal que corta la circunferencia en dos puntos P y Q.
Llamemos O al punto de la circunferencia que "toca" al plano sobre el que se apoya. Y C al centro de la circunf. Los segmentos CO y PQ se cortan en otro punto M. Entonces PM=MQ=PQ/2 , OM=x y CM=R-x. También el triángulo CMP es igual al triángulo CMQ.
Por el teorema de Pitágoras si b es la longitud de PM, entonces R^2 = (R-x)^2 + b^2 = R^2 + x^2 -2Rx + b^2 ==> b^2 = 2Rx - x^2 ==> b = raiz(2Rx-x^2).
El área delimitada por el polígono circular OPQ es entonces la integral de 2·raíz(2Rt-t^2) desde t=0 hasta t=x. El resultado es:
A = -1/2*(-2*x+2*R)*(2*R*x-x^2)^(1/2)+R^2*atan((x-R)/(2*R*x-x^2)^(1/2))-1/2*R^2*pi
Multiplicando este área por la longitud del cilindro L obtenemos el volumen V1=AL.
V2:
Es aún peor, hay que integrar A desde hasta r=R-x hasta r=R con x-->r+x-R. El resultado es:
V2 = F(R)-F(R-x), donde
F(r)=-1/6*(-4*x*r^3+4*x^3*r-12*R*x^2*r+12*x*R^2*r+2*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*x^3*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)-6*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R*x^2*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+6*x*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R^2*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+4*R*r^3-4*R^3*r-2*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R^3*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)-2*r^3*atan((x-R)/(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2))*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+r^3*pi*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2))/(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)
(seguro que se simplifica)
El volumen total es V1 + 2*V2
____
(____)
Sea por la altura; primero x<R siendo R el radio del cilindro y de la esfera.
Podemos calcular el volumen ocupado del cilindro y de la esfera por separado. Si el primero es V1 y el segundo V2, el volumen ocupado es V = V1 + 2·V2
V1:
El plano horizontal a la altura x divide el círculo de radio R en dos. Podemos visualizar el círculo de frente, siendo entonces el plano a altura x una línea horizontal que corta la circunferencia en dos puntos P y Q.
Llamemos O al punto de la circunferencia que "toca" al plano sobre el que se apoya. Y C al centro de la circunf. Los segmentos CO y PQ se cortan en otro punto M. Entonces PM=MQ=PQ/2 , OM=x y CM=R-x. También el triángulo CMP es igual al triángulo CMQ.
Por el teorema de Pitágoras si b es la longitud de PM, entonces R^2 = (R-x)^2 + b^2 = R^2 + x^2 -2Rx + b^2 ==> b^2 = 2Rx - x^2 ==> b = raiz(2Rx-x^2).
El área delimitada por el polígono circular OPQ es entonces la integral de 2·raíz(2Rt-t^2) desde t=0 hasta t=x. El resultado es:
A = -1/2*(-2*x+2*R)*(2*R*x-x^2)^(1/2)+R^2*atan((x-R)/(2*R*x-x^2)^(1/2))-1/2*R^2*pi
Multiplicando este área por la longitud del cilindro L obtenemos el volumen V1=AL.
V2:
Es aún peor, hay que integrar A desde hasta r=R-x hasta r=R con x-->r+x-R. El resultado es:
V2 = F(R)-F(R-x), donde
F(r)=-1/6*(-4*x*r^3+4*x^3*r-12*R*x^2*r+12*x*R^2*r+2*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*x^3*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)-6*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R*x^2*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+6*x*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R^2*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+4*R*r^3-4*R^3*r-2*log(r+(-(-r+x-R)*(r+x-R))^(1/2))*R^3*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)-2*r^3*atan((x-R)/(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2))*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)+r^3*pi*(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2))/(r^2-x^2+2*R*x-R^2)^(1/2)
(seguro que se simplifica)
El volumen total es V1 + 2*V2