Pregunta de matemáticas series1
Hola
Hola esta pregunta es de series, quisiera la demostración a la sumatoria de la famosa serie p cuando p=2.
Si esta parte te parecido operativa entonces dime si te la envío en otra pregunta la siguiente pregunta...->
Quisiera la demostración de convergencia y divergencia para la famosa serie p, dice que converge cuando p>1 y diverge cuando p<=1, porque?
Ahora esto es lo me parece mas difícil,si ves que puedes quiero que me respondas si vas a resolver esta siguiente pregunta, claro si dices que si te la envío en otra, te lo digo, porque de repente te la envío y no contestas, o la descartas, en fin quisiera ver tu respuesta si la vas a intentar y que no la descartaras es la siguiente...->
En esta tercera parte te pido que halles el valor en general para cualquier valor de p de la famosa serie p claro cuando esta es convergente.
Saludos.
1 Respuesta
Pues lo primero que preguntas es bastante complicado y lo último ni te cuento.
De toda la vida hemos sabido que esa sumatoria era Pi cuadrado sextos, pero nunca nos habían enseñado como se calculaba.
Simplemente te remito a dos páginas donde hay demostraciones.
Wikipedia. Problema de Basilea.
Otra página con fichero PDF.
La demostración de la convergencia es más asequible, mándala si quieres.
Esta bien te, te la mando, la información que me mandaste es extensa, me gustaría no se una solución utilizando herramientas sencillas, comprobación no sino hallar el valor.
Saludos
Pues lo he intentado con un programa potente de cálculo, pero es una serie poco convergente.
var i,k:integer;
j,suma: extended;
begin
j:=1.; i:=0; k:=0;
while j<= 10000000000 do
begin
suma:=suma+1/(j*j);
j:=j+1;
inc(i,1);
if i=1000000000 then
begin
inc(k,1);
writeln(k:2,'000000000 ', suma);
i:=0;
end
end;
readln;
end.
Esto es lo que me ha dado.
1000000000 1.6449340658481212E+0000 2000000000 1.6449340663482201E+0000 3000000000 1.6449340665086495E+0000 4000000000 1.6449340666170697E+0000 5000000000 1.6449340666490502E+0000 6000000000 1.6449340666490502E+0000 7000000000 1.6449340666490502E+0000 8000000000 1.6449340666490502E+0000 9000000000 1.6449340666490502E+0000 10000000000 1.6449340666490502E+0000
Como puedes ver a partir de los 5 mil millones de términos de la serie ya da siempre el mismo resultado, eso es porque el inverso del cuadrado de los números ya tiene 18 decimales cero y no suma nada para el ordenador.
Si te fijas en el enlace que te di aparecía 1.644934066 como el número con 9 decimales exactos, yo no diría que hayamos avanzado mucho más
La solución es el divide y vencerás se harían varias sumas de menos términos para que las de términos pequeños tengan algún valor. El programa capaz de autodividir las sumas por bloques cuando el cuadrado tenga un decimal menos y luego sumarlas todas es este. De esta forma se sumarán siempre números aproximadamente iguales y aunque haya 40 decimales con cero delante los que se sumarán los 18 dígitos siguientes que son los significativos
var i,k,m:integer;
j,p,suma,tope: extended;
parciales: array [1..100]of extended;
begin
j:=1.;
i:=0;
k:=0;
m:=1;
suma:=0;
tope:=0.1;
while j<= 10000000000 do
begin
p:=1/(j*j);
if p<tope then
begin
parciales[m]:=suma;
writeln(m:3,parciales[m]);
suma:=0;
inc(m,1);
tope:=tope/10;
end;
suma:=suma+p;
j:=j+1;
end;
for i:=1 to m do suma:=suma+parciales;
writeln ('Total=',suma);
readln;
readln;
end.
Que da este resultado para los diez mil millones de primeros números.
1 1.3611111111111111E+0000 2 1.8865662005542958E-0001 3 6.3422969161383656E-0002 4 2.1793199856968519E-0002 5 6.7906116298342927E-0003 6 2.1600548668326453E-0003 7 6.8329463570447091E-0004 8 2.1621053079549576E-0004 9 6.8371946963514948E-0005 10 2.1623103202985052E-0005 11 6.8376696798303054E-0006 12 2.1622808203361945E-0006 13 6.8377171796649260E-0007 14 2.1622778703367387E-0007 15 6.8377218296632582E-0008 16 2.1622776753367584E-0008 17 6.8377222946632404E-0009 18 2.1622776558367587E-0009 19 6.8377223351632320E-0010 Total= 1.6449340667482264E+0000
En vista de que parece que sirve para precisar más voy a hacer una cosa, voy a calcular para los primeros cien mil millones de números, dejare el ordenador trabajando una hora o lo que necesite y mientras tanto haré otras cosas.
Espera, por si se se colgase el ordenador, que es probable cuando se le piden estos cálculos fuera de lo común, te mando ya esto.
Mantente a la espera.
Un saludo.
Estos son los resultados para los cien mil millones de términos primeros.
1 1.3611111111111111E+0000 2 1.8865662005542958E-0001 3 6.3422969161383656E-0002 4 2.1793199856968519E-0002 5 6.7906116298342927E-0003 6 2.1600548668326453E-0003 7 6.8329463570447091E-0004 8 2.1621053079549576E-0004 9 6.8371946963514948E-0005 10 2.1623103202985052E-0005 11 6.8376696798303054E-0006 12 2.1622808203361945E-0006 13 6.8377171796649260E-0007 14 2.1622778703367387E-0007 15 6.8377218296632582E-0008 16 2.1622776753367584E-0008 17 6.8377222946632404E-0009 18 2.1622776558367587E-0009 19 6.8377223351632320E-0010 20 2.1622776598867590E-0010 21 6.8377223393132459E-0011 Total= 1.6449340668382264E+0000
Como puedes ver las sumas vienen a valer 9 en cada decimal, pero no tengas la tentación de sumar el 2.16 E-11 que parece faltar porque parte de ello ya esta sumado, no sé cuanto. Por lo tanto ahora se sumaría 2 o menos en el undécimo decimal que es el 3. Yo digo por mi cuenta que estos 10 decimales son exactos
1.6449340668
Si quieres puede hacer algo con la simplificación que hacía Euler para converger más rápido. Pero que sea en otra pregunta. Y de todas formas, calculando pi^2/6 tendrás cuantas cifras exactas quieras.
Tengo el convencimiento de que el corrector ortográfico se está metiendo a corregir concordancias y falla más que una escopeta de ferias. Si no, no tienen explicación muchas erratas que yo no cometería y están saliendo. Aquí me cambió una o por una e, lo que debía poner es:
Si quieres puedo hacer algo con la simplificación que hacía Euler para converger más rápido. Pero que sea en otra pregunta. Y de todas formas, calculando Pi^2/6 tendrás cuantas cifras exactas quieras.
Un saludo
