Teoría de Números: Ejercicio 4

Presentación: La que quieras, depende de como veas qe lo hace el profe.

Método: Va a ser por reducción al absurdo. Pero son muy comunes las demostraciones donde no se dice el método hasta al final. Simplemente se va trabajando y al final se encuentra cuál es el método.

Sea n un número entero que cumpla

n^2 = 3k + 2

Tomamos el número m = n-2, entonces podemos poner

n^2 = (m+2)^2 = m^2+4m+4 = 3k +2

Pasamos al la derecha el 4 y 3 de los 4m. Luego operamos para dejarlo a nuestra conveniencia

m^2 + m = 3k+2 -4 -3m = 3(k-m)-2 = 3(k-m-1) +1

De la parte derecha solo nos interesa la forma, hagamos r = k-m-1, por supuesto r€Z

m(m+1) = 3r +1

Si m o (m+1) fuesen múltiplos de 3 la igualdad sería imposible porque la parte derecha no es múltiplo de 3. Luego a los números m y (m+1) no les queda otro remedio que ser de la forma

3s+1 y 3s+2 con s € Z

entonces

(3s+1)(3s+2) = 3r +1

9s^2 + 6s + 3s + 2 = 3r + 1

3(3s^2+3s) + 2 = 3r +1

3(3s^2+3s) - 3r = 1 -2

3(3s^2 + 3s - r) = -1

Como s y r son enteros 3s^2+3s-r € Z

Y esto es absurdo, no hay ningún número entero que multiplicado por 3 de -1.

Luego la hipótesis inicial de que n^2 = 3k +2 es falsa.

Yo creo que más no se puede pedir. Si hubieras dado ya aritmética modular se podría haber hecho más rápidamente.

Y eso es todo.