Maestro, ¿Podría ayudarme con la siguiente ecuación diferencial?
Hola, me dá gusto saludarlo, la ecuación es ésta, ojalá pueda ayudarme, saludos.
$$y´´ +2y´= te^-t, cuando y(0)=6 , y´(0)= -1$$
Es que hay tres formas d resolverla.
1) Con el cambio z=y' se obtiene una lineal y luego se resuelve por el método
Z =u(t)v(t) que se usa para resolver ecuaciones lineales del tipo
z' + P(t)z = q(t)
2) Se resuelve como ecuación lineal no homogénea con el polinomio característico y buscando una solución particular.
3) Se resuelve con la transformada de Laplace.
Ahora el que tengo fresco es el método 1, los otros tendría que repasarlos pero quizá sean mejores. En especial el de la transformada de Laplace parece que es el idóneo.
Ya me dirás cuál hay que usar.
Hola, maestro, gracias por la contestación, me parece que el primer método estaría bien si usted lo recuerda mejor, saludos y nuevamente gracias. Pat
Para mí es más cómodo ahora mismo, pero si la ecuación está en el capítulo de ecuaciones lineales con coeficientes constantes o en el de la transformada de Laplace, habría que usar el método correspondiente. Que a lo mejor tal como la hago puede ser más complicada.
Lo primero es transformarla en una ecuación lineal de primer orden mediante el cambio
y' = z
y'' = z'
z' + 2z = te^(-t)
Esta ecuación es del estilo
z' + P(t)z = q(t)
y se resuelve haciendo z le producto de dos funciones de t
z = u(t)·v(t)
donde estas funciones se calculan de esta forma
$$\begin{align}&v(t) = e^{-\int P(t)dt}= e^{-\int 2 dt}= e^{-2t}\\ &\\ &u(t) =\int \frac{Q(t)}{v(t)}dt +C=\\ &\\ &\int \frac{te^{-t}}{e^{-2t}}dt+C = \int te^tdt+C=\\ &\\ &te^t-e^t+C = e^t(t-1)+C\\ &\\ &Luego \\ &z= e^{-2t}[e^t(t-1)+C]=e^{-t}(t-1)+Ce^{-2t}\\ &\\ &y=\int z dt+C_2=\int (te^{-t}-e^{-t}+Ce^{-2t})dt+C_2=\\ &\\ &-te^{-t}-e^{-t}+e^{-t}-\frac{C}{2}e^{-2t}+C_2=\\ &\\ &\text{Ajustamos la variable C}\\ &\\ &y = -te^{-t}+C_1e^{-2t}+C_2\\ &\\ &y(0)=C_1+C_2=6\\ &\\ &y'(t)=-e^{-t}+te^{-t}-2C_1e^{-2t}\\ &\\ &y'(0) =-1-2C_1=-1\\ &\\ &-2C_1=0\\ &\\ &C_1=0\\ &C_2=6\\ &\\ &y=-te^{-t}+6\end{align}$$Y eso es todo. Como te decía los otros métodos puede que sean más rápidos. Si quieres me los mandas en otras preguntas nuevas.
