¿Todo espacio normando es un espacio métrico?

Si, es verdad.

Al ser un espacio vectorial (V, K,+,·) sus elementos son vectores y tienen definida una operación suma, una operación producto por un escalar, todo vector tiene su inverso, etc.

Entonces definimos la distancia de esta forma

d(u,v) = ||u-v||

Donde se entiende que es u-v, es u+(-v) el vector u más el opuesto de v.

Vamos a ver que esta función d: V ----> R cumple las condiciones de una distancia

1) La distancia es la norma de un vector, y como una norma es no negativa se cumple que la distancia también es no negativa

2) La norma solo vale 0 cuando es el vector nulo

d(u, v) =0 <==> ||u - v|| = 0 <==> u-v = 0 <==> u = v

Luego d(u,v)=0 si y solo si d=v

3) Una norma cumple ||ku|| = |k|·||u|| entonces

d(u.v)=||u-v|| = ||-(-(u-v))|| = ||-(v-u)|| = ||(-1)(v-u)|| = |-1|·||v-u|| = 1·||v-u|| = ||v-u|| = d(v,u)

luego d(u,v) = d(v,u)

4) Y una norma cumple ||u+v|| <= ||u||+||v|| luego

d(u,w) = ||u - w|| = ||u-v + v -w|| <= ||u-v|| +||v-w|| = d(u,v)+d(v,w)

luego se cumple d(u,w) <= d(u,v) + d(v,w)

Y esas son las condiciones que necesita una distancia, luego d es una función distancia y (V, d) es un espacio métrico.

Y eso es todo.

Ya hace unos días que respondí la pregunta. Puntúala

Hola. La respuesta es excelente. No había llegado el mensaje de que había respuesta.

Ahora tengo otra duda¿Es tod espacio métrico un espacio normado? Si no es así, dame por favor un ejemplo.

Saludos