Análisis... Ejercicios de la bartle 5

Cada intervalo esta incluido el anterior porque

n < n+1 ==> 1/(n+1) < 1/n

y por lo tanto [0, 1/(n+1)] incluido en [0,1/n]

luego la intersección de los dos es el intervalo n+1

Entonces la intersección de n intervalos es el ultimo [0, 1/n]

Aparte, la sucesión 1/n con n€N es siempre positiva luego cero es cota inferior y el extremo derecho será siempre mayor o igual que cero.

Supongamos que la intersección infinita tuviese algún elemento a más aparte del cero, que por lo dicho sería positivo. Por la propiedad arquimediana existiria un n tal que

1/n < a

pero la intersección de los n primeros intervalos sería [0,1/n] y a no pertenecería a ese intervalo, luego no pertenecería a la intersección de todos. Absurdo porque se suponía que pertececiá.

Luego no puede haber otro elemento salvo el 0.

Y eso es todo.