Cada intervalo esta incluido el anterior porque
n < n+1 ==> 1/(n+1) < 1/n
y por lo tanto [0, 1/(n+1)] incluido en [0,1/n]
luego la intersección de los dos es el intervalo n+1
Entonces la intersección de n intervalos es el ultimo [0, 1/n]
Aparte, la sucesión 1/n con n€N es siempre positiva luego cero es cota inferior y el extremo derecho será siempre mayor o igual que cero.
Supongamos que la intersección infinita tuviese algún elemento a más aparte del cero, que por lo dicho sería positivo. Por la propiedad arquimediana existiria un n tal que
1/n < a
pero la intersección de los n primeros intervalos sería [0,1/n] y a no pertenecería a ese intervalo, luego no pertenecería a la intersección de todos. Absurdo porque se suponía que pertececiá.
Luego no puede haber otro elemento salvo el 0.
Y eso es todo.