Ayuda con una demostración

La demostración es similar a la que se usa para la raíz de 2

Supongamos que raíz de 15 es racional. Entonces existen números enteros p y q primos entre si tales que:

sqrt(15) = p/q

elevando al cuadrado

15 = p^2 / q^2

15q^2 = p^2

El miembro izquierdo es múltiplo de 3 y 5, basta que tomemos uno de los dos, el 3 por ejemplo.

Como el miembro izquierdo es múltiplo de 3 también lo es el derecho, p^2 es múltiplo de 3.

Los cuadrados enteros tienen los factores primos con exponente par. Agrupando el resto de factores primos salvo 3^2 tenemos

p^2= 3^2·a^2

luego p es múltiplo de 3

p = 3a

sustituimos esto en la igualdad 15q^2 = p^2

15q^2 = 3^2·a^2

dividimos entre 3

5q^2 = 3·a^2

Ahora tenemos que el miembro derecho es múltiplo de 3, luego el izquierdo también debe serlo, y al no ser 5 múltiplo de 3 deberá serlo q^2.

q^2= 3^2·b^2

y q será múltiplo de 3

q=3b

Y hemos llegado a un absurdo, ya que p y q eran primos entre si pero hemos llegado a que ambos son múltiplos de 3, luego no lo son.

Y por tanto raíz de 15 no puede ser un número racional.

Y eso es todo.