Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe

Sea a € R

Toma este conjunto

C = {x € R | x^2 <= a}

Es un conjunto real acotado superiormente por a y tiene al menos el elemento, el 0 ya que 0^2=0 <= a. Por las propiedades de los números reales tiene un supremo en R llamémoslo r

Sup C = r

Ahora supongamos que r no es la raíz cuadrada de a, es decir, que su cuadrado es distinto de a, como todo elemento de C tiene el cuadrado <= a se cumpliría

r^2 < a

puesto que los números racionales son densos en R existen numeros racionales

r^2 < m/n < i/j < a

Y los cuadrados de los racionales también son densos en R. Ya que con el algoritmo de la raíz cuadrada, podemos calcular con cuantos decimales de precisión queramos la raíz cuadrada racional por exceso de m/n hasta que el cuadrado de esta sea tan cercano a m/n que sea menor que i/j

En resumen, podemos encontrar un número racional u/v tal que

r^2 < m/n < u^2/v^2 < i/j < a

entonces u/v € C ya que u^2/v^2 < a

luego el supremo de C (que es r) debe ser mayor o igual que u/v

r >= u/v

pero de la cadena de desigualdades de arriba podemos entresacar

r^2 < u^2/v^2

r < u/v

Hemos llegado a un absurdo porque r no puede ser a la vez menos y mayor o igual que u/v. Luego la suposición de que r no era la raíz cuadrada de a es falsa y entonces existe la raíz cuadrada de a que es el supremo de C.