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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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En R todos los elementos tienen inverso salvo el 0, por eso se pide que a y b sean distintos de cero para que el producto no sea cero y pueda haber inverso. Y el inverso de un número es único, luego basta con comprobar que el producto de un número con otro es 1 para decir que son inversos el uno del otro. Luego lo comprobamos
(ab)(a^-1·b^-1) =
por conmutativa
(ab)(b^-1·a^-1) =
por asociativa
a[b(b^-1·a^-1)] =
por asociativa de nuevo
a[(b·b^-1)·a^-1] =
por ser b y b^-1 inversos
a(1·a^-1) =
por ser 1 el elemento neutro
a·a^-1 =
por ser inversos
= 1
Luego se verifica que el producto es 1, luego
Ab y a^-1·b^-1 son inversos, luego
(ab)^-1 = a^-1·b^-1
Y eso es todo.
