Estadística matemática con aplicaciones 5.140

5.140)

El teorema 5.15 dice que dadas dos variables aleatorias Y1, Y2 se cumple

V(Y1) = E[V(Y1|Y2)] + V[E(Y1,Y2)]

El termino que sobra de aquí en la desigualdad que nos plantean es V[E(Y1,Y2)].

Pero eso es una varianza, y una varianza es siempre positiva.

Si la variable es discreta es un sumatorio de cuadrados dividido entre N que es positivo.

Si es continua, es una integral de una función al cuadrado por una función de densidad que también es siempre positiva. Luego la integral de una función positiva que es siempre positiva.

Entonces al suprimir esa elemento de la igualdad queda la desigualdad

V(Y1) >= E[V(Y1|Y2)]

que es lo mismo que

E[V(Y1|Y2)] <= V(Y1)

Que es lo que nos pedían demostrar.

Y eso es todo.