Integral impropia...
Cómo se calcula la siguiente integral impropia:
integral desde 4 hasta +infinito de (por+8/(por+10)(x^2+1)) dx
Es que no sé por donde empezar Gracia
integral desde 4 hasta +infinito de (por+8/(por+10)(x^2+1)) dx
Es que no sé por donde empezar Gracia
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No sé bien cual es la integral, aparte del corrector ortográfico que fastidia la equis no se que hay en el numerador y el denominador.
Se supone que el numerador es (x+8)
El denominador (x+10)
¿(x^2+1) es numerador o es denominador?
Contéstame para poder ponerme con ella.
Es muy distinto si es
(x+8)/[(x+10)(x^2+1)]
que si es
(x+8)(x^2+1)/(x+10)
Se supone que el numerador es (x+8)
El denominador (x+10)
¿(x^2+1) es numerador o es denominador?
Contéstame para poder ponerme con ella.
Es muy distinto si es
(x+8)/[(x+10)(x^2+1)]
que si es
(x+8)(x^2+1)/(x+10)
Me arriesgo a decir que la integral es la primera, es decir
$(z+8)/[(z+10)(z^2+1)]dz entre 4 y + infinito
Porque si ponemos (z^2+1) en el numerador da una función no acotada en el infinito y por tanto sin integral impropia. Aparte, usaré zeta en vez de equis porque el corrector se obstina en cambiarla y pone "por" a todas horas.
Debemos descomponer esa integral racional en suma de fracciones más simples. En concreto, la que tenemos puede expresarse, según la teoría, como:
a/(z+10) + (bz+c)/(z^2+1)
Vamos a hallar los valores de a, b y c. Para ello sumemos estas dos fracciones simples poniendo denominador común
[a(z^2+1) + (bz+c)(z+10)] / [(z+10)(z^2+1)]
Desarrollemos el numerador
az^2 + a + bz^2 + 10bz + cz + 10c = (a+b)z^2 + (10b+c)z + a +10c
Este numerador debe ser igual al que teníamos porque el denominador lo es, luego
(a+b)z^2 + (10b+c)z +a +10c = z + 8
De esto se deduce
a+b = 0
10b+c = 1
a +10c = 8
Restamos la primera a la tercera
1 1 0 | 0
0 10 1 | 1
0 -1 10 | 8
Intercambiamos segunda con tercera y la nueva segunda multiplicada por 10 se la sumamos a la tercera. Lo hago todo enun paso por lo mal que quedan las matrices en este editor
1 1 0 | 0
0 -1 10 | 8
0 0 101 | 81
c = 81/101
Y ahora en la segunda -b + 10·81/101 = 8 ==> b = 810/101 - 8 = 2/101
Y en la primera a + 2/101 = 0 ==> a = -2/101
Así que nuestra integral (sin importarnos los límites de integración de momento) y descomponiendo ya de paso en dos la segunda fracción es:
-(2/101)$1/(z+10) dz + (1/101)$2z/(z^2+1) dz + (81/101)$1/(z^2+1)dz =
(1/101)[-2ln(z+10) + ln(z^2+1) + 81arctg z]
Vamos a expresarlo de otro modo según las propiedades de los logaritmos
(1/101) {ln[(z^2 + 1) / (z+10)^2] + 81arctg z}
Ahora debemos hallar el limite de esto cuando tiende a +infinito y restarle el valor cuando vale 4.
El corchete del ln tendrá numerador y denominador de grado 2 con coeficientes directores 1, luego tenderá al cociente 1/1= 1. Por otra parte, el arctg de +infinito es PI/2
Entonces en +infinito el límite de la función primitiva es
(1/101)[ln(1) + 81·PI/2] = 81PI/202 = 1,259747549
Y el valor de la primitiva en 4 es:
(1/101) {ln[(4^2+1)/(4+10)^2 + 81arctg 4} =
(1/101) [ln(17/196) + 81· 1,325817664] = (1/101)(-2,444901315 + 107,3912308) =
(1/101) (104,9463294) =1,039072569
Ahora restamos esta cantidad de la anterior y tenemos
Integral definida pedida = 1,259747549-1,039072569 = 0,2206749803
Y eso es todo. No era muy difícil pero tampoco sencillo, si tienes alguna duda consúltamela y no te olvides de puntuar.
$(z+8)/[(z+10)(z^2+1)]dz entre 4 y + infinito
Porque si ponemos (z^2+1) en el numerador da una función no acotada en el infinito y por tanto sin integral impropia. Aparte, usaré zeta en vez de equis porque el corrector se obstina en cambiarla y pone "por" a todas horas.
Debemos descomponer esa integral racional en suma de fracciones más simples. En concreto, la que tenemos puede expresarse, según la teoría, como:
a/(z+10) + (bz+c)/(z^2+1)
Vamos a hallar los valores de a, b y c. Para ello sumemos estas dos fracciones simples poniendo denominador común
[a(z^2+1) + (bz+c)(z+10)] / [(z+10)(z^2+1)]
Desarrollemos el numerador
az^2 + a + bz^2 + 10bz + cz + 10c = (a+b)z^2 + (10b+c)z + a +10c
Este numerador debe ser igual al que teníamos porque el denominador lo es, luego
(a+b)z^2 + (10b+c)z +a +10c = z + 8
De esto se deduce
a+b = 0
10b+c = 1
a +10c = 8
Restamos la primera a la tercera
1 1 0 | 0
0 10 1 | 1
0 -1 10 | 8
Intercambiamos segunda con tercera y la nueva segunda multiplicada por 10 se la sumamos a la tercera. Lo hago todo enun paso por lo mal que quedan las matrices en este editor
1 1 0 | 0
0 -1 10 | 8
0 0 101 | 81
c = 81/101
Y ahora en la segunda -b + 10·81/101 = 8 ==> b = 810/101 - 8 = 2/101
Y en la primera a + 2/101 = 0 ==> a = -2/101
Así que nuestra integral (sin importarnos los límites de integración de momento) y descomponiendo ya de paso en dos la segunda fracción es:
-(2/101)$1/(z+10) dz + (1/101)$2z/(z^2+1) dz + (81/101)$1/(z^2+1)dz =
(1/101)[-2ln(z+10) + ln(z^2+1) + 81arctg z]
Vamos a expresarlo de otro modo según las propiedades de los logaritmos
(1/101) {ln[(z^2 + 1) / (z+10)^2] + 81arctg z}
Ahora debemos hallar el limite de esto cuando tiende a +infinito y restarle el valor cuando vale 4.
El corchete del ln tendrá numerador y denominador de grado 2 con coeficientes directores 1, luego tenderá al cociente 1/1= 1. Por otra parte, el arctg de +infinito es PI/2
Entonces en +infinito el límite de la función primitiva es
(1/101)[ln(1) + 81·PI/2] = 81PI/202 = 1,259747549
Y el valor de la primitiva en 4 es:
(1/101) {ln[(4^2+1)/(4+10)^2 + 81arctg 4} =
(1/101) [ln(17/196) + 81· 1,325817664] = (1/101)(-2,444901315 + 107,3912308) =
(1/101) (104,9463294) =1,039072569
Ahora restamos esta cantidad de la anterior y tenemos
Integral definida pedida = 1,259747549-1,039072569 = 0,2206749803
Y eso es todo. No era muy difícil pero tampoco sencillo, si tienes alguna duda consúltamela y no te olvides de puntuar.
Hola de nuevo;
Ante todo gracias... Sí, era la primera opción que has puesto... pero si lo hago con un programa matemático me da - infinito. ¿Pq puede ser?
Ante todo gracias... Sí, era la primera opción que has puesto... pero si lo hago con un programa matemático me da - infinito. ¿Pq puede ser?
Yo verifiqué la respuesta con Derive y Geogebra por si había tenido algún fallo, que es algo que sucede muchas veces, y daba esa misma respuesta. También puedes hacer la gráfica con cualquier programa y verás que da algo parecido a una campana de Gauss, eso no quiere decir que tenga que ser finita la integral impropia, pero es buen síntoma.
Si metes bien los datos, con los paréntesis en los sitios adecuados para que no te salte parte del denominador al numerador, tiene que darte eso.
Y si no, dime que programa usas, aunque si es el famoso MatLab ni lo tengo ni lo conozco.
Y sobre todo, lo que te decía de escribir bien la formula en el programa:
(x+8)/((x+10)(x^2+1))
Si metes bien los datos, con los paréntesis en los sitios adecuados para que no te salte parte del denominador al numerador, tiene que darte eso.
Y si no, dime que programa usas, aunque si es el famoso MatLab ni lo tengo ni lo conozco.
Y sobre todo, lo que te decía de escribir bien la formula en el programa:
(x+8)/((x+10)(x^2+1))
