Demostración. Números reales!

Necesitaría el libro para ver que se puede usar y que no.

-(a+b) se supone que es el opuesto de (a+b), es decir, el numero tal que cumple

(a+b) + [-(a+b)] = 0

y

-a es el inverso de a

-b es el inverso de b

luego

a + (-a) = 0

b + (-b) = 0

si sumamos ambas tendremos

(a+b) + (-a) + (-b) = 0

Luego (-a) + (-b) es el opuesto de (a+b)

Como el opuesto es único

-(a+b) = -a + (-b)

Mira a ver si sirve eso.

Luego (-a) + (-b) es el opuesto de (a+b)
Como el opuesto es único
-(a+b) = -a + (-b) esta ultima parte no la tengo como propiedad demostrada.pero si tengo que a= -(-a) yo había planteado algo con eso .a+b=-a+-b =-(-(-a)+-(-b)=-1(-(-a)+-(-b)) = -a+-b .pero no estoy segura.

¿Entonces dices que no tienes demostrado que el opuesto es único?

Pero que si tienes demostrado que -(-a) = a.

Lo que has escrito es una cadena de igualdades falsa.

Pues lo del opuesto único es una propiedad de todos los grupos, es más una demostración algebraica que de análisis.

Supongamos r tiene dos opuestos s y t

r + s = 0

r + t = 0

sabemos que (-r) + (-t) es un opuesto de (r+t) y que el opuesto de 0 es 0 luego

(-r) + (-t) = 0

Sumamos la primera y esta

(r+s) + [(-r) + (-t)] = 0 + 0

Y aplicando la asociativa y conmutativa se llega a

s + (-t) = 0

sumando el inverso de -t en cada lado

s + (-t) + [-(-t)] = -[-(t)]

s + 0 = t

s = t

Luego el inverso es único y entonces sirve lo que hice en la respuesta anterior.