Ayuda con este ejercicio
Encuentre la solución para la siguiente inecuación:
$$| -1 \ 2 + x | \ \leq 1 \ 6$$
1 Respuesta
Una inecuación con valor absoluto como esta se divide en dos
Para cuando lo de dentro del valor absoluto sea positivo se puede quitar el valor absoluto y cuando sea negativo se puede quitar pero hay que cambiar de signo el interior
Vamos a hacerlo
Caso 1, lo de dentro es positivo
Entonces
-1/2 + x >=0 ==> 1/2 <=x
y podemos poner
-1/2 + x <= 1/6
x <= 1/6 + 1/2 = (1+3)/6 = 4/6=2/3
x <= 2/3
Luego la solución del caso 1 es
1/2 <= x <= 2/3
Caso 2, lo de dentro es negativo
entonces
-1/2 + x <=0 ==> x <= 1/2
Y debemos cambiar de signo lo de dentro para que sea positivo lo mismo que sería con las barras
-(-1/2+x) <= 1/6
1/2 - x <= 1/6
1/2 - 1/6 <= x
(3-1)/6 <= x
2/6 <= x
1/3 <=x
y la solución del caso 2 es
1/3 <=x <= 1/2
Y la solución completa es la unión de las dos
(1/2 <= x <= 2/3) U (1/3 <= x <= 1/2) =
(1/3 <=x <= 2/3)
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Hay otra forma de resolverlo que consiste en elevar al cuadrado en ambos lados
(|x - 1/2|)^2 <= (1/6)^2
x^2 - x + 1/4 <= 1/36
x^2 - x + 1/4 - 1/36 <= 0
x^2 - x + (9-1)/36 <= 0
x^2 - x + 8/36 <= 0
x^2 - x + 2/9 <= 0
9x^2 - 9x + 2 <= 0
x = [9 +- sqrt(81 -72)]/18
x = (9 +- 3) /18 = 6/18 y 12/18 = 1/3 y 2/3
Esas son las raíces de la parábola. Y una parábola con coeficiente director positivo es negativa entre las raíces, luego la inecuación se cumple en [1/3, 2/3]
Y eso es todo.
