Análisis matemático... Libro lima 2

Probaremos primero que se cumple para n=1.

El lado izquierdo será

(1+x)^1 = 1+x

y el derecho

1+x+(1·0/2)x^2 = 1+x

son iguales, luego se cumple la desigualdad que incluye el signo igual

Ahora supongamos que se cumple para n y veamos que lo hace para n+1

Vamos a hacer una cuenta previa

$$\begin{align}&\frac{(n+1)n}{2}-\frac{n(n-1)}{2}=\\ &\\ &\frac{n^2+n-n^2+n}{2}=\frac{2n}{2}= n\\ &\\ &\text{Que nos será más útil así}\\ &\\ &\frac{(n+1)n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}+n\end{align}$$

El lado derecho será

$$\begin{align}&1+(n+1)x +\frac{(n+1)n}{2}x^2 = \\ &\\ &1 + nx + x + \left[\frac{n(n-1)}{2}+n  \right]x^2=\\ &\\ &\\ &1+ nx +x +\frac{n(n-1)}{2}x^2+nx^2 =\\ &\\ &\\ &1+ nx +\frac{n(n-1)}{2}x^2+nx^2+x \le\\ &\\ &\text{por la hipótesis sobre n}\\ &\\ &\le (1+x)^n +x(nx+1) \le\\ &\\ &\text{Hay un teorema o cosa sencilla de demostrar}\\ &\text{que dice }(1+nx)\le(1+x)^n \text { si } x\ge 0\\ &\le(1+x)^n+x(1+x)^n =\\ &\\ &(1+x)(1+x)^n = (1+x)^{n+1}\\ &\\ &\text{resumiendo}\\ &\\ &1+(n+1)x +\frac{(n+1)n}{2}x^2 \le (1+x)^{n+1}\end{align}$$

Que es lo que dice el ejercicio aunque con la desigualdad escrita al contrario.

Y por tanto se cumple para n+1 y con ello queda demostrada la inducción.

Espero que te sirva y lo hayas entendido, si necesitas alguna explicación más en algún punto, pídemela.