Integral de Riemann-Stieltjes

Si tu tienes una función elevada al cuadrado

[f(x)]^2

su derivada por la regla de la cadena es

$$\begin{align}&\frac{d\;[(f(x))^2]}{dx}= 2f(x) ·\frac{d [f(x)]}{dx}\\ &\\ &f(x)·d [f(x)] = \frac 12 d[(f(x))^2]\\ &\\ &\int f(x)·d [f(x)]=\frac 12 (f(x))^2\end{align}$$

Luego lo que nos ponen es:

$$\begin{align}&\int_a^b f\;df= \left.\frac{f^2}{2}  \right|_a^b=\\ &\\ &\frac 12\left((f(b))^2-(f(a))^2  \right)\end{align}$$

Y eso es todo.