Factorizar la expresión dada

Esto no se si tendrá nombre, pero lo llamaría ecuación tricuadrada. Asi como las bicuadradas son

ax^4 + bx^2 + c = 0

La tricuadrada sería

ax^6 + bx^3 + c = 0

Tanto las bicuadradas como esta se transforman en cuadradas con un cambio de variable.

Llamemos y = m^3, entonces la ecuación del problema es

$$\begin{align}&y^2-7y-8=0\\ &\\ &y = \frac{7 \pm \sqrt{49+32}}{2}=\\ &\\ &\\ &\frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}= \frac{7 \pm 9}{2}= 8\; y -1\\ &\\ &\text{Luego:}\\ &\\ &y^2-7y-8 = (y-8)(y+1)=\\ &\\ &(m^3-8)(m^3+1)\end{align}$$

Y con esto ya lo tendríamos factorizado, aunque imagino que lo que querrán es que lo factorices al máximo. Pues lo haremos dentro de cada factor con la regla de Ruffini. Se ve claramente que 2 es una raíz del primer factor y -1 del segundo

    1  0  0 -8
2      2  4  8
    ----------
    1  2  4  0
    1  0  0  1
-1    -1  1 -1
    ----------
    1 -1 1 0 

Con lo que la factorización completa es

$$m^6-7m^3-8=(m+1)(m-2)(m^2-m+1)(m^2+2m+4)$$

Y ya no se puede más en el campo real, los factores de grado 2 que han quedado no tienen raíces reales.

Y eso es todo.