Pregunta numero 15 de teoría de números

Prueba que n(13n^2 -1) es divisible entre 6 para todo n>1

Parece el problema típico de resolver por inducción, pero vamos a hacerlo sin inducción usando propiedades de las congruencias

Debemos demostrar que

n(13n^2 -1) :~ 0 (mod 6)

Hagamos el ciclo de los residuos de los dos factores.

El ciclo de n es bien sencillo

(1, 2, 3, 4, 5, 0)

El ciclo de 13n^2 -1

Podemos restar 12n^2 ya que es múltiplo de 6

13n^2 - 1 :~ n^2 -1 (mod 6)

Veamos que valores toma

n=1 ==> 1^2-1 :~ 0 (mod 6)

n=2 ==> 4-1 :~ 3 (mod 6)

n=3 ==> 9-1 :~ 8 :~ 2 (mod 6)

n=4 ==> 16-1 :~ 15 :~ 3 (mod 6)

n=5 ==> 25-1 :~ 24 :~ 0 (mod 6)

n=6 ==> 36-1 :~ 35 :~ 5 (mod 6)

Pero lo que pasa es que no ha habido recurrencia en los cálculos, vamos q demostrar que se ha cerrado el ciclo

Ahora los siguientes podemos considerarlos como los anteriores incrementados en 6 unidades

(n+6)^2 -1 = n^2 + 12n + 36 -1 :~ n^2 -1 (mod 6)

Hemos eliminado 12 y 36 por ser múltiplos de 6, no cambian el valor del residuo. Y vemos que el residuo es congruente con el situado seis lugares antes y asi con los 6 siguientes y todos.

Luego el ciclo de residuos de (13n^2 -1) es

(0, 3, 2, 3, 0, 5)

Y ahora multiplicamos unos por otros

(1, 2, 3, 4, 5, 0) · (0, 3, 2, 3, 0, 5) =

(0, 6, 6, 12, 0, 0) :~ (0, 0, 0, 0, 0, 0) (mod 6)

Luego para cualquier n el residuo módulo 6 es cero luego la expresión es múltiplo de 6 para todo n.

Y eso es todo.