Calcula las siguientes integrales

Esta integral no se si te la habrán enseñado como inmediata o no. En alguna tablas de inmediatas aparece, pero yo creo que es mejor que la hagamos como si no fuera inmediata, la memoria está solamente para las fundamentales y para las otras está el saber hacer las operaciones necesarias.

Lo que sí debes recordar es la derivada del arcoseno

$$arcsen´(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Y lo que vamos a hacer es intentar una expresión de ese tipo, solo que en vez de x será una función de x, resumiendo queremos llegar a algo así:

$$\int \frac{5}{\sqrt{{9-4x^2}}} dx= c\int \frac{u´(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^2}}dx$$

La obtención del 1 es lo que guiará los pasos a dar.

Hay que dividir por 9 dentro de la raíz, pero eso no se puede hacer así sin más debemos dividir por 9 ahí pero multiplicar por algo para que el valor de la expresión sea igual. Como queremos meter un 9 dentro eso se obtiene de un 3 fuera que estará compensado con otro 3, mejor que lo veas

$$\begin{align}&\int \frac{5}{\sqrt{{9-4x^2}}} dx=\int \frac{5}{\frac 33 \sqrt{9-4x^2}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{5}{3 \sqrt{\frac{9-4x^2}{9}}}=\int \frac{5}{3 \sqrt{1- \frac{4x^2}{9}}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{5}{3 \sqrt{1- \left(\frac{2x}{3}\right)^2}}=\end{align}$$

Ya tenemos el 1 y la función [u(x)]^2 dentro de la raíz. Ahora hace falta que el numerador tenga la derivada de esa función que es 2/3. Para ello lo pondremos en el numerador, pero fuera pondremos 3/2 para compensar. Antes de hacer eso también sacaremos las constantes que hay ahora multiplicando.

$$\begin{align}&\frac 53 \int \frac{dx}{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{3}\right)^2}}=\\ &\\ &\frac 53 ·\frac 32 \int \frac{\frac 23dx}{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{3}\right)^2}}=\\ &\\ &\frac{15}{6}arcsen\left({\frac{2x}{3}}\right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac{5}{2}arcsen\left({\frac{2x}{3}}\right)+C=\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.