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3.106)
Eran 10 impresoras, 4 de ellas defectuosas y se habían elegido 5
Combinaciones posibles = C(10,5) = 10·9·8·7·6 / 5! = 252
P(0 defectuosas) = C(6,5)/252 = 6/252
P(1) = C(4,1)·C(6,4)/252 = 4·6·5·4·3/4! = 60/252
P(2) = C(4,2)C(6,3)/252 = (4·3/2)(6·5·4/3!) = 120/252
P(3) = C(4,3)C(6,2)/252 = 4·6·5/2 = 60/252
P(4) = C(4,4)C(6,1)/252 = 6/252
Verificamos 6+60+120+60+6 = 252 bien
E(50Y) = 50E(Y) =
(50/252)(0·6 + 1·60 + 2·120 + 3·60 + 4·6) = 50·504/252 = $100
V(50Y) = E((50Y-E(50Y))^2) = E((50Y - 50E(Y))^2) = E((50(Y-E(Y))^2) =
50^2(E((Y-E(Y))^2) = 2500E((Y-E(Y))^2) = 2500V(Y)
YA HEMOS HECHO muchos ejercicios de varianza con la fórmula
V(Y) = Sum (i=1,n) de (Yi-media)^2·P(Yi)
No ganaremos mucho pero ya va siendo la hora de usar la fórmula.
V(Y) = [Sum(i=1,n) de (Yi)^2·P(Yi)] - media^2
Se deduce fácilmente usando el binomio de Newton, propiedades de los sumatorios y la definición de media.
V(P) = 2500V(Y) = (2500/252)(0·6 + 1·60 + 4·120 + 9·60 + 16·6) - 100^2 =
2500·1176/252 - 10000 = 11666,666... - 10000 = 1166,666...
Solo por esta vez vamos a verificar que coincide con el método usado hasta ahora.
Recordar que E(Y) = 2
V(P) = 2500V(Y) = 2500/252((-2)^2·6 + (-1)^2·60 + 0·120 + 1·60 + 2^2·6) =
(2500/252)(168) = 1666,666...
Vemos que coinciden y precisamente en este ejemplo parece más fácil el método viejo que el nuevo, pero en general es mas sencillo el nuevo.
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3.107) Paquete puntuados 1 a 6 se eligen 2. Variable Y= nº paquetes con 3,4,5,6 de nota
Casos posibles = C(6,2) = 6·5/2 = 15
Y=0 si y solo si se eligieron los paquetes 1 y 2
P(0) = C(2,2)/15 = 1/15
P(1) = C(2,1)C(4,1)/15 = 8/15
P(2) = C(2,0)C(4,2)/15 = 6/15
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3.108) En 20 cámaras hay 3 malas. Número mínimo para que P(1 mala o +)>=0,8
Tomemos n cámaras
Los casos posibles son C(20,n)
La probabilidad de 0 defectuosas es
P(0) = C(17,n)/C(20,n)
La probabilidad de una o masa defectuosas es
P(1 o más malas) = 1 - P(0) = 1 - C(17,n)/C(20,n) >=0,8
C(17,n)/C(20,n) <= 1 - 0,8 = 0,2
Tras simplificar quedará
17·16·15···(17-n+1) / [20·19·18···(20-n+1) <= 0,2
Esto no se puede resolver de golpe, hay que probar con n hasta que salga, se puede probar uno por uno o por tanteo y cortando por la mitad. Puesto que si nos pasamos de tanteo henos hecho muchas operaciones lo mejor uno a uno
17/20 = 0,85 · 16/19 = 0,7157894737 · 15/18 = 0,5964912281 · 14/17 = 0,4912280702 · 13/16 = 0,399122807 · 12/15 = 0,3192082456 · 11/14 = 0,250877193 · (10/13) = 0,1929824561
Por fin es menor o igual que 0,2
El ultimo factor del numerador era 17-n+1 luego
17-n+1 = 10
n =18-10
n = 8
Luego hará falta seleccionar 8 cámaras
Y eso es todo.
