Análisis de cadenas de markov
de este ejercicio obtener los valores característicos y realiza la interpretación de estos valores
http://www.guardarimagenes.com.ar/image/fotos/87813d9fca054337b509.png
Te doy sitio de apoyo
http://www.slideshare.net/lupiuxlupiux/ejemplos-de-estacionalidad.
Obtener también el vector estacionario suponiendo que el vector inicial es
a)
$$(1,0,0,0)$$
b)
$$(0,0,1,0)$$
c)
$$(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$$
1 Respuesta
La demostración de que tiene infinidad de distribuciones invariantes creo que ya la hice para esa matriz. ¿No te suena?
Al plantear la ecuación
$$\begin{align}&V^TP=V^T\\ &P^TV=V\\ &P^TV-V=0\\ &(P^T-I)V=0\\ &\end{align}$$Queda este sistema
-1/2 0 1/3 0 | 0
0 -1/3 0 1/2 | 0
1/2 0 -1/3 0 | 0
0 1/3 0 -1/2| 0
Donde las filas 1 y son proporcionales y las 2 y 4 también con lo cual solo quedan dos útiles a la que añadimos la ecuación de que la suma de todas es 1
1 1 1 1 | 1
Pero son 3 ecuaciones útiles y 4 incógnitas por lo que hay infinitas soluciones dependientes de un parámetro.
Le falla la condición de que debe ser irreducible. Y esta cadena no lo es tiene dos clases
{1,3} y {2,4}
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El enlace me da un error 404, no lo encuentra.
Voy a ver si le doy solución sin ver los ejemplos.
La solución del sistema es
v1 = 2v3 / 3
v2 = 3v4 / 2
2v3 / 3 + 3v4 / 2 + v3 + v4 = 1
5v3 / 3 + 5v4 / 2 = 1
10v3 + 15v4 = 6
v3 = (6 - 15v4)/10 =
Ahora todo depende solo de v4
v1= (12 - 30v4) / 30 = 2/5 - v4
v2 = 3v4/2
v3 = 3/5 - 3v4/2
v4 = v4
Asegurémonos que se cumplen las 3 ecuaciones, aunque cueste tiempo
-(1/2)(2/5 - v4) +1/3(3/5 - 3v4/2) = -1/5 + v4/2 +1/5 - v4/2 =0
-(1/3)(3v4/2) + v4/2 = -v4/2 +v4/2 = 0
2/5 - v4 + 3v4/2 +3/5 - 3v4/2 + v4 = 2/5 + 3/5 = 1
Luego la solución está bien.
Pero no se si lo que he hecho sirve para encontrar la distribución invariante.
a) Con el vector (1,0,0,0) tras el primer paso tenemos
(1/2, 0, 1/2, 0)
tras el segundo
(1/4+1/6, 0, 1/4+1/3, 0) = (10/24, 0, 7/12, 0) = (5/12, 0, 7/12, 0)
tras el tercero
(5/24 + 7/36, 0, 5/24+ 14/36, 0) = (29/72, 0, 43/72, 0)
Por aquí no vamos a llegar a nada, unicamente puede servirnos que las componentes 2 y 4 son 0
¡Ah claro! Si en las soluciones de arriba hacemos v2=v4=0 tendremos
v1=2/5
v2=0
v3=3/5
v4=0
La distribución invariante (que supongo será lo mismo que el vector estacionario) es
(2/5, 0, 3/5, 0)
b) El vector inicial es (0,0,1,0)
Tras el primer paso tenemos
(1/3, 0, 2/3, 0)
Y es como antes las componentes 2 y 4 serán siempre 0. Hacemos las mismas cuentas y se obtiene la misma respuesta
(2/5, 0, 3/5, 0)
c) (1/4,1/4,1/4,1/4)
Tras el primer paso
(5/24, 7/24, 7/24, 5/24)
Tras el segundo
(29/144, 43/144, 43/144, 29/144)
Aquí son iguales primero y cuarto, luego v1=v4
2/5 - v4 = v4
2/5 = 2v4
v4= 1/5
luego tendremos
v1=v4=1/5
v2=3v4/2 = (3/5)/2 = 3/10
v3 = 3/5 - 3v4/2 = 3/5 - 3/10 = 3/10
Luego el vector estacionario es
(1/5, 3/10, 3/10, 1/5)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Mira a ver si funciona el enlace
