Problemas de Álgebra lineal

Sean (a, b) las coordenadas de un vector u en la base B, entonces el vector ews

u = a(1,2) + b(2,-1) = (a+2b, 2a-b)

y T(u) será

T(u) = (2(a+2b)+2a-b , 2a-b -(a+2b) , 3(a+2b)) =

(2a +4b +2a - b , 2a-b-a-2b, 3a+6b)=

(4a+3b, a- 3b, 3a+6b)

Y esto expresado en la base B' será

x(1,1,1) + y(0,1,1) + z(0,0,1) = (4a+3b, a- 3b, 3a+6b)

(x , x+y, x+y+z) = (4a+3b , a-3b , 3a+6b)

que nos da estas tres ecuaciones

x = 4a+3b

x+y = a-3b

x+y+z = 3a+6b

El valor de x ya lo tenemos

Si a la segunda le restamos la primera tendremos el valor de y

x+y - x = a- 3b -(4a+3b)

y = a - 3b - 4a- 3b = -3a - 6b

Y si a la tercera le restamos la segunda se obtiene el valor de z

z= 2a +9b

Luego la transformación es

[T]BB' (a,b) = (4a+3b, -3a-6b, 2a+9b)

Nunca está mal comprobarlo con un ejemplo

[T]BB' (3,-2) = T(3(1,2)-2(2,-1)) =

T((3,6) +(-4,2)) = T(-1,8) =

(2·(-1)+8, 8-(-1), 3(-1)) = (6, 9, -3) =

Lo ponemos en función de las coordenadas de B'

6(1,1,1) + 3(0,1,1) -12(0,0,1)

Veamos si la formula que dimos de la transformación da esas coordenadas

[T]BB'(3,-2) = (4·3-3·2, (-3)·3 - 6(-2), 2·3 +9(-2)) =(6, 3, -12)

Si, da las coordenadas que corresponden, luego suponemos que está bien.

Y eso es todo.