Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y
Calculé el área de la región
$$y=e^x, y=x, x=0, x=1$$
Me dio el resultado de
$$\int^1_0(e^x-x)dx=e^x-\frac{x^2}{x}+C=e-\frac{3}{2}$$Pero me piden calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Como giran alrededor del eje Y hay que poner las funciones al contrario
x= lny
x=y
La pieza completa es un cono abajo formado por la recta x=y entre y=0 e y=1
Luego arriba es un cilindro al que hay que quitar el volumen generado por la función x=lny entre y=1 e y=e
$$\begin{align}&V_{cono}=\pi\int_0^1y^2dy =\pi\left[\frac{y^3}{3} \right]_0^1=\frac{\pi}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &V_{cilindro}=\pi(e-1)\\ &\\ &V_{hueco}=\pi\int_1^e(lny)^2dy\\ &\\ &u=(lny)^2\quad du=\frac{2lny\,dy}{y}\\ &dv=dy\quad \quad u=y\\ &\\ &y(lny)^2-2\int lny\;dy=\\ &\\ &u=lny \quad du=\frac{dy}{y}\\ &dv=dy \quad v=y\\ &\\ &=y(lny)^2-2y\,lny+2\int dy=\\ &\\ &y[(lny)^2-2lny+2]\\ &\\ &\text{evaluamos entre 1 y e}\\ &\\ &V_{hueco}=\pi[e(1-2+2)-1·2]=\pi(e-2)\\ &\\ &\\ &V_{pieza}=\frac{\pi}{3}+\pi(e-1)-\pi(e-2)=\\ &\\ &\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
