Geometría Analítica: Parábola y Familia de Rectas

Pues el comienzo es como antes, empezaremos despejando en la segunda una variable o expresión que se pueda sustituir en la primera

-y = 3x-2k

con lo cual

x^2 + 4x + 3x - 2k + 3 = 0

x^2 + 7x + (3-2k) = 0

He puesto (3-2k) entre paréntesis para que veas que eso es como el coeficiente c de una ecuación ax^2+bx+c=0

Vamos a plantear la solución

$$\begin{align}&x=\frac{-7\pm \sqrt{49-4(3-2k)}}{2}=\\ &\\ &\frac{-7\pm \sqrt{49-12+8k}}{2}=\\ &\\ &\frac{-7\pm \sqrt{37+8k}}{2}\end{align}$$

Habrá dos cortes si la ecuación tiene dos respuestas, uno si tiene una y cero si no hay respuestas. El número de respuestas nos lo da la raíz cuadrada. Si es positiva son dos respuestas, si es cero es una respuesta y si es negativa no hay respuestas. Luego el valor de 37+8k tiene la llave de todo, debe ser 0 o positivo para lo que nos preguntan

37+8k >= 0

8k>= -37

k >= -37/8

a) Hay dos cortes diferentes si k > -37/8

b) Es tangente si k=-37/8

Y como añadido no la corta si k<-37/8

Y eso es todo.