Pregunta número 4... De matemáticas

What is te least positive residue of 53! ¿Modulo 59?

Cual es el menor residuo positivo de 53! ¿Modulo 59?

Usando el teorema de Wilson tenemos.

Sea p un número primo, entonces

(p-1)! ~: -1 (mod p)

59 es primo, luego

58! ~: -1 (mod 59)

58·57·56·55·54·53! ~: -1 (mod 59)

Cambiamos 58, 57, 56, 55, 54 por números congruentes módulo 59, que son (-1), (-2), (-3), (-4) y (-5)

(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)53! ~: -1 (mod 59)

-120·53! ~: -1 (mod 59)

En la izquierda le sumamos 2·59·53! Que es múltiplo de 59 y queda

-2·53! ~: -1 (mod 59)

2·53! ~: 1 (mod 59)

Hay que resolver la congruencia

2x ~: 1 (mod 59)

Multiplicamos por 30

60x ~: 30 (mod 59)

y restamos 59x en la izquierda

x ~: 30 (mod 59)

Luego el residuo positivo menor de 53! Entre 59 es 30

Y eso es todo.