Hola, maestro, necesito de su valiosa ayuda para resolver esta ecuación diferencial

Aah simple vista se ve que es una EDO de carácter homogénea, el orden de dicha ecuación es 4, por lo tanto se puede hacer la sustitución.
y = vx ----> dy = xdv + vdx

Nos queda.

$$\begin{align}&(2(vx)x^{3}-(xv)^{4})dx+(2x(vx)^{3}-x^{4})(vdx+xdv)=0\\ &(2x^{4}v-v^{4}x^{4})dx+(2v^{3}x^{4}-x^{4})(vdx+xdv)=0\\ &x^{4}vdx+x^{4}v^{4}dx+2x^{5}v^{3}dv-x^{5}dv=0\\ &x^{4}vdx+x^{4}v^{4}dx=x^{5}dv-2x^{5}v^{3}dv\\ &x^{4}(v+v^{4})dx=x^{5}(1-2v^{3})dv\\ &\frac{dx}{x}=\frac{(1-2v^{3})}{v(1+v^{3})}dv\\ &\\ &Integras-Var. Separables\\ &\\ &\int\frac{dx}{x}= \int\frac{(1-2v^{3})}{v(1+v^{3})}dv\\ &Ln(x)=\int\frac{dv}{v(1+v^{3})}-\int\frac{2v^{3}dv}{v(1+v^{3})}\\ &Ln(x)=\int\frac{dv}{v}-\int\frac{v^{2}dv}{(1+v^{3})}-2\int\frac{v^{2}dv}{(1+v^{3})}\\ &Ln(x)=Ln(v)-\frac{1}{3}Ln(1+v^{3})-\frac{2}{3}Ln(1+v^{3})+Ln(C)\end{align}$$

Luego, volvemos a la variable original.

y=vx -----> v=y/x

$$\begin{align}&Ln(x)=Ln(v)-\frac{1}{3}Ln(1+v^{2})-\frac{2}{3}Ln(1+v^{3})+Ln(C)\\ &\\ &v=\frac{y}{x}\\ &\\ &Ln(x)=Ln(\frac{y}{x})-{1}{3}Ln(1+{(\frac{y}{x})}^3)-\frac{2}{3}Ln(1+(\frac{y}{x})^3)+Ln(C)\\ &\end{align}$$

Luego despejas "C" y listo, las integrales las resolví la primera es directa y la segunda la separe quedándome una que hice por fracciones parciales y la otra sustitución simple.