Pregunta de calculo vectorial 2
Hola valeroasm"
Halla el área máxima de un triangulo inscrito en una elipse en función de los parámetros de la elipse.
Ojo: El para cada punto fijo de la elipse se encuentra su área máxima, asi que se tendría que hallar el área máxima de las máximas.
Saludos
1 respuesta
En el problema no te describen el triangulo, no entiendo tu pregunta...
En los parámetros por intuición es como dices, es asi.
La ecuación paramétrica de la elipse centrada en el origen con a el semieje en X y b el semieje en Y es
x=acost
y=bsent
con 0<= t <2Pi
Por tanto consideraremos estos tres puntos:
X = (acosx, bsenx)
Y = (acosy, bseny)
Z = (acosz, bsenz)
El área de un triángulo dados los vértices se puede calcular mediante el producto vectorial de dos de sus lados tomados como vectores, en concreto como la mitad del módulo de ese producto vectorial.
vector(XY) = (acosy-acosx, bseny-bsenx)
vector(XZ) = (acosz-acosx, bsenz-bsenx)
Para calcular e producto vectorial se la añade la componente z=0 a cada uno y se resuelve por el método del determinante dando
Vector(XY) x vector(XZ) = (0, 0, (acosy-acosx)(bsenz-bsenx)-(bseny-bsenx)(acosz-acosx))
Y el módulo es:
|ab(cosysenz-cosysenx-cosxsenz+cosxsenx-senycosz+senycosx+senxcosz-senxcosx)|=
|ab(-senycosz+cosysenz + senxcosz-cosxsenz + senycosx-cosysenx)| =
|ab(-sen(y-z) + sen(x-z) + sen(y-x))| =
|ab(sen(z-y) + sen(x-z) + sen(y-x))|
Este módulo es una función de tres variables, el área es la mitad, pero a la hora de hallar máximos o mínimos no importa esa constante, incluso vamos a ignorar también la ab
Hacemos las derivadas parciales respecto de las tres variables y de momento quitamos el molesto valor absoluto
f(x,y,z) = sen(z-y) + sen(x-z) + sen(y-x)
Las igualaremos a cero para que se den las condiciones de un extremo relativo
fx(x,y,z) = cos(x-z) - cos(y-x) = 0
fy(x,y,z) = -cos(z-y) + cos(y-x) = 0
fz(x,y,z) = cos(z-y) - cos(x-z) = 0
Haciendo operaciones elementales se deducen estas igualdades
cos(x-z) = cos(z-y) = cos(y-x)
Sin perder generalidad supondremos que se cumple
0 <= x < y < z < 2Pi
Como cosa=cos(-a) podemos poner la igualdad de modo que todos los ángulos sean positivos
cos(z-x) = cos(z-y) = cos(y-x)
De la primera igualdad se deduce una de estas dos
z-x = z-y ==> x=y y no nos sirve
o
z-x = 360º - (z-y) ==> z-x = 360 -z + y ==> 2z - x - y = 360º
De la segunda
z-y = y-x ==> z=2y-x
sustituyendo esto en la anterior
4y-2x -x-y = 360º
3y - 3x = 360º
y - x = 120º
y = x+120º
Y de comparar primera con última
z-x = y-x ==> z=y no sirve
o
z-x = 360º-(y-x) ==> z-x = 360º-y+x ==> z+y-2x = 360º
sustituyendo que y = x+120º tenemos
z+x+120º-2x = 360º ==> z = x + 240º
En conclusión los puntos son
X= (cosx, senx),
Y= (cos(x+120º), sen(x+120º))
Z = (cos(x+240º), sen(x+240º))
con 0<=x<120º
Podria parecer que sean demasiadas respuestas pero no es así
f(x,y,z) = sen(z-y) + sen(x-z) + sen(y-x) = sen(120)+sen(-240)+sen(120) = 3sen(120º)
En realidad el área máxima auténtica es una vez que devolvemos las constantes que no usamos es
área = (3/2)a·b·sen(120º) = (3/2)(sqrt(3)/2)ab = (3/4)sqrt(3)ab
El área vale lo mismo para tres ángulos cualesquiera siempre que la diferencia entre los ángulos sea 120º
Y eso es todo.
¡Perdón! Se me olvido poner las a y b. Los puntos son:
X= (a·cosx, b·senx),
Y= (a·cos(x+120º), b·sen(x+120º))
Z = (a·cos(x+240º), b·sen(x+240º))
con 0<=x<120º
Y recuerdo que el área máxima es:
Área máxima = (3/4)sqrt(3)ab
