Problema de Circunsferencias

El centro de la circunferencia A tendrá la misma distancia a los tres puntos. Supongamos que es (x, y) y vamos a calcularlo. No voy a poner las raices cuadradas que tienen la formula de la distancia. Para que, si lo primero que habrá que hacere después es elevarlas al cuadrado, asi que voy a igualar los cuadrados de las distancias

(x-4)^2 +(y-5)^2 =(x-5)^2 +[y-3-sqrt(3)]^2

(x-4)^2 +(y-5)^2 =(x-6)^2 + (y-3)^2

Veras que se despejan bastante y quedarán las ecuaciones de dos rectas

x^2-8x+16 + y^2-10y+25 = x^2-10x+25 +y^2 -2[3+sqrt(3)]y +[3+sqrt(3)]^2

-8x -10y +41= -10x - 2[3+sqrt(3)]y + 25 + [3+ sqrt(3)]^2

2x + [-4+2sqrt(3)]y = -16+ 9 + 6sqrt(3) +3

1) 2x + [-4+2sqrt(3)]y = -4 + 6sqrt(3)

y la otra es

x^2-8x+16 + y^2-10y+25 = x^2-12x+36 +y^2-6y+9

-8x -10y + 41 = -12x - 6y +45

2) 4x -4y = 4

Esta que he marcado como 2) la dividiré entre 2 y se la restaré a la que marqué como 1)

[-4+2sqrt(3)]y + 2y = -4+6sqrt(3)-2

[-2+2sqrt(3)]y = -6+6sqrt(3)

y = 3

4x = 4+4y = 4+12=16

x=4

Luego el centro de A es (4,3)

Habrás visto lo incomodo que es usar sqrt(3) como raíz cuadrada, pero es el convenio que hay sobre como representar raíces cuadradas.

Y el radio de A será la distancia del centro a cualquiera de los puntos, por ejemplo a (6,3) que está en horizontal a distancia 2

r=2

Luego la circunferencia C tiene centro en (4,3) y radio=4

El centro de B es el punto medio de (4,3) y (10,3)

pm = [(4,3)+(10,3)] / 2 = (14,6)/2 = (7,3)

Y el cociente de los radios, si el de C nos habían dicho que era el doble que el de A, entonces el cociente del radio de C entre el de A es 2, no es necesario dividir 4/2=2

Entonces la ecuación canónica de B es

(x-7)^2+(y-3)^2 = 2^2

(x-7)^2+(y-3)^2 = 4

Y a mi me gusta más esta forma que la general, pero si te piden la ecuación general es:

x^2-14x+49+y^2-6y+9=4

x^2 + y^2 - 14x - 6y + 54 =0

Y eso es todo.