Problema número 6 de adler

Use el teorema de wilson para demostrar que si p es primo entonces

(p-1)! ~: p-1 mod (p(p-1))

El teorema de Wilson dice que si p es primo entonces

(p-1)! ~: -1 (mod p)

Pero en vez de -1 podemos poner cualquier congruente módulo p con -1, sumando p a -1 tenemos p-1

(p-1)! ~: p-1 (mod p)

eso significa que p-1 es el resto de dividir (p-1)! entre p luego

(p-1)! = kp + (p -1)

Pero a la izquierda tenemos un múltiplo de p-1, luego a la derecha también debe serlo. Y para ello debe serlo kp. Como p y (p-1) son primos entre sí debe ser k múltiplo de p-1. Entonces será k = m(p-1)

(p-1)! = mp(p-1)+p-1

luego el resto de dividir (p-1)! entre p(p-1) es p-1, que es equivalente a

(p-1)! ~: p-1 mod(p(p-1))

Y eso es todo.