Comprobar o contradecir que de ninguna manera un cuadrado perfecto se puede escribir asi: 3k +2

Sea n un número y n^2 su cuadrado

Si n^2 = 3k + 2 quiere decir que

n^2 ~: 2 (mod 3)

pero vamos a ver que eso no puede ser y para ello vamos a probar estos tres casos

1) Si n ~: 0 (mod 3) entonces n^2 ~: 0^2=0 (mod 3)

2) Si n ~: 1 (mod 3) entonces n^2 ~: 1^2= 1 (mod 3)

3) Si n ~: 2 (mod 3) entonces n^2 ~: 2^2 = 4 ~: 1 ( mod 3)

Luego todo cuadrado es congruente con 0 o 1 módulo 3 y no puede tener la forma 3k+2.

Pues es mucho más fácil usando aritmética modular, la verdad.

Use m=n-2 por conveniencia, quería llegar a una expresión del tipo

m(m+1) = 3r +1

y descubrí que haciendo m=n-2 se conseguía.

Sin usarlo tendremos

n^2 = 3k+2

[(n-2)+2]^2 = 3k+2

(n-2)^2 + 4(n-2) +4 =3k+2

(n-2)^2 + n-2 = 3k+2 -4 -3(n-2)

(n-2)(n-2+1) = 3(k-n+2)-2 =3(k-n+2-1) + 1

Y para llega a algo manejable tendremos que hacer m=n-2 para que quede como lo hicimos entonces

m(m+1) = 3(k-m-1)+1

m(m+1) = 3r + 1

La verdad es que este problema sin usar módulos se las trae.