Álgebra abstracta de fraleigh 3

6.9)

Si a genera un grupo cíclico de orden 2 significa que solo están el mismo y la identidad

luego <a> = {a, a^2} = {a, e}

aa = e  ==> a'(aa) = a'e  ==> (a'a)a = a'  ==> a = a'

Luego a es el inverso de si mismo.

...

...

Varios minutos haciendo cuentas. Haremos lo que dice de consultar la sección de respuestas. Dice, considere el elemento (xax')^2.

Bien. Haremos las simplificaciones xx' directas en vez de ponerlas entre paréntesis para luego sustituirlas por e y al final quitar la e, eso está bien para principiantes, pero si nos perdemos siempre en esos detalles no se avanza.

(xax')^2 = xax'xax' = xaax' =

Como aa=e en nuestro caso

= xx' = e

Luego (xax')^2 = e

eso significa que

<xax'> = {xax', e}

Pero el problema decía que a era el único elemento que generaba un subgrupo cíclico de orden 2, luego

xax' = a

y basta con operar con x por la derecha

xax'x = ax  ==>

xa = ax

Que es lo que nos decía el enunciado

Y eso es todo.