Geometría Analítica: La línea recta

La formula de la distancia de un punto (xo,yo) a una recta en la forma Ax + By + C = 0 es

d = |Axo + Byo + C| / sqrt(A^2+B^2)

Al ser el origen (xo,yo) = (0,0) y la distancia es

d = |C| / sqrt(A^2+B^2) = 5

Por otra parte debe pasar por (1,7)

A+7B+C = 0

Solo tenemos 2 ecuaciones y tres incógnitas, Pero es que hemos dado tres incógnitas para la recta y en realidad con dos sobran puesto que podemos dejar una como una constante u otra condición que haga que no sean necesarias las tres.

En este caso lo que vamos a hacer es que A^2+B^2=1 eso simplificará bastante la primera ecuación

|C| = 5

y la segunda queda

sqrt(1-B^2) + 7B + C = 0

sqrt(1-B^2) = 7B+ C

1-B^2 = 49B^2 + C^2 + 14BC

50B^2 +14BC +C^2 -1 = 0

B =[-14C +- sqrt (196C^2 - 200(C^2-1)] / 100 =

[-14C +- sqrt(200-4C^2)] / 100 =

se simplifica un poco

[-7C +- sqrt(50-C^2)] / 50

Y ahora sustituyamos C que puede valer 5 y -5

Para C = 5

B = [-35 +- sqrt(50-25)]/50 = (-35 +- 5)/50 = -4/5 y -3/5

A1 = +- sqrt(1-16/25) = +- sqrt(9/25) = +- 3/5

A2= +- sqrt(1-9/25) = +- sqrt(16/25) = +- 4/5

Para C=-5

B = [35 +- sqrt(50-25)]/50 = (35 +- 5)/50 = 4/5 y 3/5

A3 = +- sqrt(1-16/25) = +- sqrt(9/25) = +- 3/5

A4 = +- sqrt(1-9/25) = +- sqrt(16/25) = +- 4/5

Para manejarnos mejor multiplicamos por 5 todos los coeficientes y quedarían A y B valiendo +-3 o +-4 y C = +- 25

Hay unas posibilidades de signos increíbles, veremos que se reducen a dos.

Con

C=25, B=-4, A=+-3

C=25, B=-3, A=+-4

C=-25, B=4, A=+-3

C=-25, B=3, A=+-4

Todas las ecuaciones que se pueden formar con las dos ultimas líneas son las de las dos primeras con los tres coeficientes con los signos cambiados. Si se cambian los tres de signo es la misma recta. Luego solo sirven las de las dos primeras líneas.

3x - 4y + 25 = 0

-3x - 4y + 25 = 0

4x -3y + 25 = 0

-4x - 3y + 25 = 0

Cuando se resuelven ecuaciones con radicales suelen aparecer soluciones fantasmas, que cumplen la ecuación elevada al cuadrado pero no la original, por eso hay que verificar las soluciones y eliminar las que no cumplen el enunciado original

Todas ellas cumplen que la distancia al origen es 5 ya que la fórmula nos da

d = 25 / sqrt(25) = 5

La 1ª pasa por el punto (1,7)

3-28+25 = 0

Pero la segunda no

-3 - 28 + 25=-6

La tercera no

4-21+25 = 8

Y la cuarta si

-4-21-+ 25 = 0

Luego las soluciones son

3x - 4y + 25 = 0

-4x -3y + 25 = 0

Esta última también se puede escribir 4x + 3y - 25 = 0 con menos signos menos.

Y eso es todo.