Estadística matemática con aplicaciones 5.26

a)

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^1 4y_1y_2 dy_2 = 4\left[ y_1 \frac{y_2^2}{2}\right]_0^1=2y_1\; si \;0\le y_1 \le 1;\;0 \;si \;no\\ &\\ &f_2(y_2)=2y_2\; si \;0\le y_1 \le 1;\;0 \;si \;no\end{align}$$

b) Aplicaremos la definición de probabilidad condicionada

P(A | B) = P(AnB)/P(B)

$$\begin{align}&P(Y_1 \le 1/2;y_2 \ge 3/4)=\int_{0}^{1/2}\int_{3/4}^1 4y_1y_2dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2} 4\left[ y_1 \frac{y_2^2}{2} \right]_{3/4}^1dy_1=\int_0^{1/2}2y_1 \left(1-\frac{9}{16}\right)dy_1=\\ &\\ &\\ &\frac{7}{8}\int_0^{1/2}y_1dy_1=\frac {7}{16}[y_1^2]_0^{1/2}=\frac{7}{64}\\ &\\ &\\ &\\ &P(Y_2 \ge 3/4)=\int_{3/4}^1f_2(y_2)dy_2=\int_{3/4}^1 2y_2dy_2=\\ &\\ &\\ &\\ &\left[ y_2^2 \right ]_{3/4}^1 =\frac {7}{16}\\ &\\ &\\ &P(Y_1 \le 1/2 \; |\;Y_2 \ge 3/4)= \frac{\frac{7}{64}}{\frac{7}{16}}=\frac {16}{64} = \frac 14\end{align}$$

c) La función de densidad condicional es la función de densidad dividida entre la función de densidad marginal que la variable que condiciona.

$$f(y_1 | y_2)=\frac{f(y_1,y_2)}{f_2(y_2)}= \frac{4y_1y_2}{2y^2}=2y_1 \;si \; 0\le y_1 \le 1;\;\; 0 \;si\;no$$

d) Los papeles de Y1 e Y2 son intercambiables

f(y2|y1) = 2y2 si 0<=y2<=1; 0 en el resto.

e) P(Y1 <= 3/4 | Y2=1/2)=

Integraremos la función de densidad condicional f(y1|y2) hallada antes

=$2y1 dy1 entre 3/4 y 1 =

(y1)^2 entre 3/4 y 1 = 1 - 9/16 = 7/16