Bartle, ejercicios de la sección 2.4, no. 9
Demostrar que si A y B son subconjuntos acotados de R, entonces AUB es un conjunto acotado. Demostrar que sup(AUB)=sup {sup A, sup B}
1 Respuesta
Se supone que quieren decir acotados inferior y superiormente.
Inferiormente existirán
c1€R tal que para todo x€A, x >= c1
c2€R tal que para todo x€B, x >= c2
tomemos c = min(c1,c2)
entonces
para todo x€A se verifica x >=c1 >= min(c1,c2)
y para todo x€B se verifica x >= c2 >= min(c1,c2)
luego c es una cota inferior de AuB
Y superiormente es análogo, existirán:
C1€R tal que para todo x€A, x <= C1
C2€R tal que para todo x€B, x <= C2
Tomemos C = max(C1,C2)
para todo x€A se verifica x <= C1 <= max(C1,C2)
para todo x€B se verifica x <= C2 <= max(C1,C2)
Luego C es una cota superior de AuB
Y por lo tanto AuB esta acotado.
Antes demostramos que AuB estaba acotado superiormente, luego por las propiedades de los números reales existe el supremo.
Además tomaremos sup A en lugar de la cota que llamamos C1 y sup B como la cota que llamamos C2
entonces C = max{sup A, supB}
tratándose de dos números el supremo es lo mismo que el máximo.
C = sup{sup A, sup B}
C era una cota superior como ya comprobamos, para demostrar que es el supremo falta demostrar que es la mínima cota superior
Supongamos que existe una cota superior D de AuB tal que D < C = sup{sup A, sup B}
Por ser cota superior de AuB lo es de A y B. Pero esto es contradictorio porque hemos hallado una cota superior de A menor que sup A, eso no puede ser por definición, ya que el supremo es la menor cota superior. Luego no puede existir esa cota D menor que C y por lo tanto sup(sup A, sup B} = sup AuB
Y eso es todo.
