Problemas de calculo

$$\begin{align}&f(x) = \frac 12\int_0^x(x-t^2)g(t)dt=\\ &\\ &\frac 12\int x^2g(t)dt -\int_0^xxt·g(t)dt+\frac 12\int_0^xt^2g(t)dt=\\ &\\ &\text{Las x de esas integrales son unas constantes:}\\ &\\ &\frac {x^2}{2}\int g(t)dt -x\int_0^x t·g(t)dt+\frac 12\int_0^xt^2g(t)dt\\ &\\ &\text {El teorema fundamental del cálculo dice}\\ &\frac {d\left(\int_0^xh(t)dt\right)}{dx}=h(x)\\ &\\ &\text{con lo cual}\\ &\\ &f'(x)=x\int_0^x g(t)dt+\frac {x^2}{2}g(x)-\int_0^x t·g(t)dt-x·x·g(x)+\frac {x^2}{2}g(x)=\\ &\\ &\text{Se simplifacan todos los }x^2g(x)\\ &\\ &x\int_0^x g(t)dt-\int_0^x t·g(t)dt\end{align}$$

Calcularemos la derivada segunda de la misma forma que antes.

$$\begin{align}&f''(x)=\int_0^xg(t)dt+x·g(x)-x·g(x)=\\ &\\ &\int_0^xg(t)dt\\ &\\ &f''(1)=\int_0^1g(t)dt=2\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &f'''(x) = g(x)\\ &\\ &f'''(1)=g(1) = 5\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.