Ayuda con demostración de un teorema :c

Vamos a usar el simbolo ~ para indicar congruente

Sea a ~ b (mod m), entonces

b = a+km

Sea el polinomio

p(x) = cn·x^n + ....+ c2·x^2 + c1·x + c0

p(a) = cn·a^n + ....+ c2·a^2 + c1·a + c0

p(b) = cn(a+km)^n + ... + c2(a+km)^2 + c1(a+km) + c0

Tomemos uno cualquiera de los términos y desarrollamos el binomio de Newton

$$\begin{align}&c_i(a+km)^i = c_i\left(a^i+ia^{i-1}km + \binom {i}{2}a^{i-2}k^2m^2+... \right)=\\ &\\ &\text{Todos los términos salvo el primero son múltiplos de m}\\ &\\ &=c_i(a^i+ms_i)\\ &\end{align}$$

Separamos los terminos que tienen m y los agrupamos en uno solo, t será la suma de los s sub i

$$\begin{align}&p(b) = c_na^n+c_{n-1}a^{n-1}+ ...+c_0+mt\\ &\\ &Luego\\ &\\ &p(b) = p(a) + mt\end{align}$$

Y eso siginifica que p(a) es comgruente con p(b) mod m.

Y eso es todo.