Factorice completamente el polinomio

Los exponentes no pueden ponerse a la derecha sin más. Puestos asi son factores. Para indicar un exponente hay que usar el símbolo ^ delante de él. El polinomio bien escrito es:

P(x) = x^3 +8 - 3x^2 + 12 - 2(x-1)(x+2)

primero operaremos y simplificaremos

P(x) = x^3 + 8 - 3x^2 + 12 - 2x^2 - 4x + 2x + 4 =

x^3 - 5x^2 - 2x + 24

Siempre que nos pongan un polinomio de grado 3 y los estudios sean de colegio hay que confiar que lo han puesto de forma que tenga soluciones enteras o al menos una de ellas lo sea.

En un polinomio de grado 3 el producto de las raíces es el opuesto del coeficiente independiente y su suma es el opuesto del segundo coeficiente. O sea, el producto es -24 y la suma 5.

Si no se supiera esto iríamos probando número tras número, o si solo se supiera lo primero número tras número pero solo los divisores de -24 que son muchos

{1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4, 6,-6, 8,-8, 12,-12, 24, -24}

Lo segundo no sé si lo habréis usado alguna vez y no es fácil, a mi vino enseguida la intuición de que las soluciones son 4,3 y -2 porque cumplen eso, pero otras veces no es tan sencillo.

Bueno, pues por el método normal, habríamos probado con 1,-1,2 y al llegar a -2 veríamos que el polinomio vale 0

P(-2) = -8-20+4+24 = 0

Por Ruffini o por división entera calcularíamos el cociente P(x) / (x+2)

    1  -5  -2  24
-2     -2  14 -24
    -------------
    1  -7  12 | 0

P(x) = (x+2)(x^2 - 7x + 12)

Y ahora factorizaremos el polinomio de grado 2, podemos seguir con nuestro método o podemos resolver la ecuación de segundo grado.

Siguiendo el método el siguiente número a probar sería el 3 que casualmente nos vale.

Siendo Q(x) = x^2-7x+12

Q(3) = 9 - 21 +12 = 0

     1 -7  12
3       3 -12
      --------
     1 -4 | 0

Q(x) = (x-3)(x-4)

Luego

P(x) = (x+2)Q(x) = (x+2)(x-3)(x-4)

P(x) = (x+2)(x-3)(x-4)

Y eso es todo.