Integrales impropias...
Voy a abusar de nuevo de tus conocimientos (prometo que es la última pregunta) haber si me puedes resolver esta cuestión:
Sea p un parámetro que puede tomar cualquier valor real ¿Cuáles de estas integrales se consideran impropias y porque?
A=Integral desde 1 hasta 2 de 1/(z(ln(z))^p)
B= integral desde 2 hasta +inf de 1/(z(ln(z))^p)
C=integral desde 1 hasta +inf de 1/(z(ln(z))^p)
Hallar los valores p para los cuales converge cada integral. Para calcular la primitiva hacer el cambio de variable t=ln(por). Atención con el caso p=1
Es que estoy preparando un examen que tengo la semana que viene y necesito y bien cargado...
Sea p un parámetro que puede tomar cualquier valor real ¿Cuáles de estas integrales se consideran impropias y porque?
A=Integral desde 1 hasta 2 de 1/(z(ln(z))^p)
B= integral desde 2 hasta +inf de 1/(z(ln(z))^p)
C=integral desde 1 hasta +inf de 1/(z(ln(z))^p)
Hallar los valores p para los cuales converge cada integral. Para calcular la primitiva hacer el cambio de variable t=ln(por). Atención con el caso p=1
Es que estoy preparando un examen que tengo la semana que viene y necesito y bien cargado...
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La integral A es impropia porque en el extremo de integración z = 1 el denominador se hace cero al ser ln(1)=0, y por lo tanto la función tiende a infinito.
La integral B es impropia porque uno de los extremos de integración es +infinito
La integral C es impropia por ambos motivos.
Calculemos la primitiva
$dz/(z[ln(z)]^p)
hacemos el cambio que decías
t = ln(z)
dt = dz/z
Nos que simplemente esto
$dt/t^p
Si p = 1 es ln(t) = ln(ln(z))
Si p <> 1 es [1/(-p+1)]t^(-p+1) = [1/(1-p)] [ln(z)]^(1-p)
Ahora aplicamos esto a la integral A cuyos límites son 1 y 2. Dicha integral es:
Si p=1 es ln(ln(2)) - ln(ln(1)) = ln(ln(2)) - ln(0) = ln(ln(2)) - (-infinito). NO CONVERGE
SI p<>1 es [1/(1-p)] [(ln(2))^(1-p) - (ln(1))^(1-p)] =
[1/(1-p)][(ln(2))^(1-p) - 0^(1-p)]
Lo que puede fastidiar es el 0^(1-p). Si 1- p < 0 tenderá a infinito.
Eso sucede cuando p > 1. En caso contrario dicha expresión vale cero.
Resumiendo:
A converge para p € (-oo, 1) y diverge para p € [1, +oo)
Vayamos con la integral B cuyos límites son 2 y +oo.
Si p=1 será [lim z-->+oo de ln(ln(z))] - ln(ln(2) que es +infinito y diverge
Si p<>1 es lim z-->+oo de [1/(1-p)] [ln(z)]^(1-p) - [1/(1-p)] [ln(2)]^(1-p)
Aquí nos tenemos que fijar en la expresión [ln(z)]^(1-p) cuando z-->+oo
ln(z) tenderá a infinito, pero dicho infinito se hará cero si su exponente es negativo y entonces convergerá
1-p<0
p>1
Resumiendo:
B converge si p € (1,+oo) y diverge si p € (-oo,1]
La integral C es la suma de las dos anteriores. Vemos que cuando p < 1 converge A pero diverge B con lo cual diverge C. Y cuando P > 1 diverge A y converge B con lo que C diverge.
Cuando p=1
C = lim z-->+oo ln(ln(z)) - ln(ln(1)) = +oo - ln(0) = +oo -(-oo) = +oo No converge
Resumiendo
C no converge nunca
Y eso es todo.
La integral B es impropia porque uno de los extremos de integración es +infinito
La integral C es impropia por ambos motivos.
Calculemos la primitiva
$dz/(z[ln(z)]^p)
hacemos el cambio que decías
t = ln(z)
dt = dz/z
Nos que simplemente esto
$dt/t^p
Si p = 1 es ln(t) = ln(ln(z))
Si p <> 1 es [1/(-p+1)]t^(-p+1) = [1/(1-p)] [ln(z)]^(1-p)
Ahora aplicamos esto a la integral A cuyos límites son 1 y 2. Dicha integral es:
Si p=1 es ln(ln(2)) - ln(ln(1)) = ln(ln(2)) - ln(0) = ln(ln(2)) - (-infinito). NO CONVERGE
SI p<>1 es [1/(1-p)] [(ln(2))^(1-p) - (ln(1))^(1-p)] =
[1/(1-p)][(ln(2))^(1-p) - 0^(1-p)]
Lo que puede fastidiar es el 0^(1-p). Si 1- p < 0 tenderá a infinito.
Eso sucede cuando p > 1. En caso contrario dicha expresión vale cero.
Resumiendo:
A converge para p € (-oo, 1) y diverge para p € [1, +oo)
Vayamos con la integral B cuyos límites son 2 y +oo.
Si p=1 será [lim z-->+oo de ln(ln(z))] - ln(ln(2) que es +infinito y diverge
Si p<>1 es lim z-->+oo de [1/(1-p)] [ln(z)]^(1-p) - [1/(1-p)] [ln(2)]^(1-p)
Aquí nos tenemos que fijar en la expresión [ln(z)]^(1-p) cuando z-->+oo
ln(z) tenderá a infinito, pero dicho infinito se hará cero si su exponente es negativo y entonces convergerá
1-p<0
p>1
Resumiendo:
B converge si p € (1,+oo) y diverge si p € (-oo,1]
La integral C es la suma de las dos anteriores. Vemos que cuando p < 1 converge A pero diverge B con lo cual diverge C. Y cuando P > 1 diverge A y converge B con lo que C diverge.
Cuando p=1
C = lim z-->+oo ln(ln(z)) - ln(ln(1)) = +oo - ln(0) = +oo -(-oo) = +oo No converge
Resumiendo
C no converge nunca
Y eso es todo.
