Hallar la probabilidad
Hallar la probabilidad de que entre 100 000 cifras al azar, la cifra 6 salga menos de 9971 veces.
1 Respuesta
Hay diez cifras, luego la probabilidad de cada una de ellas y de la cifra 6 en particular es 1/10 = 0.1,
La distribución de este experimento es una binomial con 100000 elementos y probabilidad 0.1
X ~ B(100000, 0.1)
Cuando n es bastante grande > 30 y p no es muy grande o muy pequeño se puede aproximar esta distribución por una normal que facilita los cálculos.
Dicha normal tiene como media el producto de n por p
media = np = 100000 · 0.1 = 10000
y como desviación la raíz cuadrada de n por p por (1-p)
desviación = sqrt(100000 · 0.1 · 0,9) = sqrt(9000) = 94.86832981
Luego la normal que aproxima la binomial es una
Y ~ N(10000, 94.86832981)
Y en el paso de la normal a la binomial se suma o resta 0.5 al valor del que vamos a calcular la probabilidad de forma que si entra se haga más grande el intervalo y si no entra se haga más pequeño.
En este caso tenemos que calcular la probabilidad de que X este en el intervalo
[0, 9971)
En la normal el 0 se transforma en - infinito
Y el 9971 como no entra se transforma en 9970.5
Luego hay que calcular
P(Y <= 9970.5) =
Y para poder calcular esto tenemos que tipificarla
Z = (Y-10000) / 94.86832981 donde Z es una N(0,1) de la que tenemos tablas
= P[Z <= (9970.5 - 10000) / 94.86832981] =
P(Z <= -0.3109573032) =
Como en las tablas no hay probabilidad para valores negativos se calculamos mediante simetría de esta forma
= 1 - P(Z <= 0.3109573032) =
Y ahora buscamos los valores en la tabla
Tabla(0.31) = 0.6179
Tabla(0.32) = 0.6217
E interpolamos la probabilidad para el valor 0.3109573032
P(Z <=0.3109573032) = 0.6179 + 0.09573032(0.6217-0.6179) = 0.6182637752
= 1 - 0.6182637752 = 0.3817362248
Y esa es la probabilidad aproximada por la normal para la binomial.
Y eso es todo.
Supongo que al ser una solución aproximada, el dato de 0,3817362248 es la solución de 0,3799 que me dan a elegir en el problema que te mando (imagen del problema 9).........lo que se me "escapa" es saber de dónde han obtenido el valor de 0,3799.
Puede haber mil motivos para que te pongan 0.3799 pero no cabe duda de que es la respuesta más verosímil de las cuatro que dan.
Lo primero sería saber si el ejercicio está hecho para resolverse con aproximación por una normal o no. Hoy día hay programas de estadística que calculan exactamente el valor. Como tengo estropeado el ordenador no tengo Excel precisamente que es el que uso yo.
Lo calcularé con Wolframalpha
P(x<9971) = 0.3783994843
P(x = 9971) = 0.00401825
P(x>9971) = 0.6175822637
Esas serían las probabilidades exactas.
Dentro de las que se pueden calcular con aproximación por distribución normal y tabla de 4 decimales, la que he hecho yo es la más exacta posible.
Supongamos que el que puso la respuesta no hubiera usado interpolación
1- 0.6179 = 0.3821
1- 0.6217 = 0.3783
Que ninguna de ellas es 0.3799
ESPERA. Que me equivoqué al mirar en la tabla, me bailaron los ojos una posición hacia la izquierda. Las cuentas exactas son
Tabla(0.31) = 0.6217
Tabla(0,32) = 0.6255
P(Z <=0.3109573032) = 0.6217 + 0.09573032(0.6255-0.6217) = 0.6220637752
1- 0.6220637752 = 0.3779362248
Perdona por el fallo, la verdad es que me bien justo para ver los números de la tabla que uso.
Pues yo ya te he explicado lo que he hecho y he corregido el error que cometí y aparte te he dado el resultado exacto que se parece más al que digo yo que al que te dan por respuesta. Habría que ver como lo calcularon ellos para saber si usaron otro método o usaron el mismo pero lo hicieron peor.
Y eso es todo.
