¿Cómo se resuelve este sistema de ecuaciones?

Antes de nada decir que la solución

x = 1

y = 1

se ve a primera vista.

Vamos a ver si podemos ver alguna otra

Intentaremos despejar x o y en la segunda ecuación

1/x + 1/y = 2

Multiplicamos todo por xy

y + x = 2xy

2xy - x = y

x(2y-1)=y

x = y/(2y-1)

Y esto lo sustituimos en la primera ecuación

[y/(2y-1)]*2·y + [y/(2y-1)]·y^2 = 2

Ahora multiplicamos todo por (2y-1)^2

y^2·y +y(2y-1)y^2 = 2(2y-1)^2

y^3 + 2y^4 -y^3 = 8y^2 + 2 - 8y

2y^4 - 8y^2 + 8y - 2 = 0

y^4 - 4y^2 + 4y - 1 = 0

Ya sabíamos que y=1 era una solución, hacemos la división por (y-1) por Ruffini por ejemplo

    1  0  -4  4 -1
1      1   1 -3  1
    ---------------
    1  1  -3  1 |0

y^3 + y^2 - 3y + 1 = 0

De nuevo vemos que y=1 es solución

1 + 1 -3 + 1 = 0

Dividimos de nuevo por (y-1)

    1  1 -3  1
1      1  2 -1
    ----------
    1  2 -1 |0

Y nos queda

y^2 + 2y -1 = 0

Esta hay que resolverla ya con la fórmula

y = [-2 +- sqrt(4 +4)] / 2 =

[-2 +- sqrt(8)] / 2 =

[-2 +- 2·sqrt(2)]/ 2 =

-1 +- sqrt(2)

Luego las soluciones son estas tres:

y1=1

y2=-1-sqrt(2)

y3= -1+sqrt(2)

Como

x = y/(2y-1)

x1 = 1/(2-1) = 1

x2 = [-1 -sqrt(2)] / [-2-2sqrt(2)-1] = [1 + sqrt(2)] / [3+2sqrt(2)] =

[1+sqrt(2)][[3-2sqrt(2)] / {[3+2sqrt(2)][3-2sqrt(2)]} =

[3 -2sqrt(2) +3sqrt(2) - 4] / (9-8) = sqrt(2) -1

x3 = [-1 +sqrt(2)] / [-2+2sqrt(2)-1] = [sqrt(2) -1] / [2sqrt(2)-3] =

[sqrt(2) -1][2sqrt(2)+3] / {[2sqrt(2)-3][2sqrt(2)+3]} =

[4 + 3sqrt(2)-2sqrt(2) -3] /(8-9) = -1-sqrt(2))

Cuando se resuelven ecuaciones de ciertos tipos (con radicales sobre todo) pueden introducirse soluciones fantasma. Por eso hay que comprobar las soluciones con la ecuación inicial. Además, esto nos servirá para asegurarnos que las respuestas son correctas.

x1=1; y1=1

x2=sqrt(2)-1; y2=-1-sqrt(2)

x3=-1-sqrt(2); y3=sqrt(2)-1

Las soluciones segunda y tercera son lógicas porque x e y tienen papeles intercambiables, solo comprobaremos una de ellas

[sqrt(2)-1]^2 · [-1-sqrt(2)] + [sqrt(2)-1] · [-1-sqrt(2)]^2 =

[2+1-2sqrt(2)] [-1-sqrt(2)] +[sqrt(2)-1]·[2+1+2sqrt(2)] =

[3-2sqrt(2)] [-1-sqrt(2)] + [sqrt(2)-1] [3+2sqrt(2)] =

-3-3sqrt(2)+2sqrt(2)+4 + 3sqrt(2)+4 -3 - 2sqrt(2) = 2

Cumple la primera

1 / [sqrt(2)-1] + 1 / [-1-sqrt(2)] =

1 / [sqrt(2)-1] - 1 / [sqrt(2)+1]

Racionalizamos los denominadores en un solo paso

[sqrt(2)+1] - [sqrt(2)-1] = 2

Como buenos matemáticos hemos hecho las comprobaciones sin transformar las soluciones en números decimales y usar la calculadora, aunque estuve tentado de hacerlo.