Ejercicio de teoría de números, ecuación.

2-21) Usar congruencias para demostrar que x^2 - 2y^2 = 10 no tiene soluciones enteras.

Dice que va a hacer cálculos en módulo 5. Lo primero dice que es fácil comprobar que si u no es congruente con 0 módulo 5 entonces u^2 es congruente con +-1 módulo 5.

Lo comprobamos

u=1 ==> u^2 = 1 ~: 1 (mod 5)

u=2 ==> u^2 = 4 ~: -1 (mod 5)

u=3 ==> u^2 = 9 ~: -1 (mod 5)

u=4 ==> u^2 = 16 ~: 1 (mod 5)

y si u>4 y no congruente con 0 tendremos

u=5n+r con r=1,2,3 o 4

u^2 = 25n^2 + 10nr + r^2 ~: r^2 (mod 5)

Luego todo u no congruente con 0 módulo 5 verifica que u^2 es congruente con 1 o -1 módulo 5

Hacemos módulo 5 en la ecuación

x^2 - 2y^2 ~: 10 (mod 5)

x^2 - 2y^2 ~: 0 (mod 5)

Y vamos a ver que eso no tiene solución

Si ni x ni y son múltiplos de 5, sustituyendo x^2 e y^2 por sus congruentes tenemos estas 4 posibilidades

1 - 2 = -1

1+2 = 3

-1 -2 = -3

-1+2 = -1

Ninguna es congruente con 0 (mod 5), luego no hay soluciones de la ecuación de congruencias y entonces no la hay de la ecuación original

Si solo uno de los dos es múltiplo de 5 las sustituciones darán

0 - 2 =-2

0+2 = 2

1-0 = 1

-1-0 = 1

Ninguna es congruente con 0 (mod 5) luego no hay solución posible a la ecuación de congruencias y tampoco a la original

Luego deben ser x e y múltiplos de 5, pero entonces

x^2 - 2y^2 =

(5n)^2 - 2(5m)^2 =

25n^2 - 2·25m^2 =

25 (n^2-2m^2)

Pero esto no puede valer 10 nunca, puede valer 0, 25, -25, 50, etc, pero 10 no puede valer.

Luego en ninguno de los casos se puede cumplir la ecuación original para x e y enteros.

Y eso es todo.