Análisis matemático... Libro lima 5

tengo el lima en español... Si me das el correo te lo mando..

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Evidentemente ese sumatorio es mayor que cero por ser positivos todos los sumandos. Usaré la letra t en lugar de lambda, que a mano no cuesta nada, pero con el editor de ecuaciones cuesta mucho escribir letras griegas.

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n(x_i+ty_i)^2 =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n x_i^2+t^2\sum_{i=1}^n y_i^2+2t\sum_{i=1}^n x_iy_i\ge 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\\ &\\ &\text {llamando}\\ &a= \sum_{i=1}^n y_i^2;\;\;b=\sum_{i=1}^n x_iy_i;\;\;c=\sum_{i=1}^n x_i^2\\ &\\ &\text{tenemos}\\ &at^2+2bt + c >=0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\\ &\\ &\end{align}$$

Esto es un polinomio con valores positivos siempre y con coeficiente director (a) positivo. Si la ecuación cuadrática tuviera 2 raíces positivas los valores intermedios del polinomio serían negativos, lo cual contradice que el polinomio es siempre positivo. Luego la ecuación no puede tener 2 raíces positivas, entonces el discriminante de la ecuación de be ser no positivo

(2b)^2 - 4ac <= 0

4b^2 - 4ac <= 0

4b^2 <= 4ac

b^2 <= ac

Que traducida a sumatorios era

Espera, que pulse "enviar" por equivocación sin haber terminado.

Que traducido a los sumatorios es:

$$\begin{align}&a= \sum_{i=1}^n y_i^2;\;\;b=\sum_{i=1}^n x_iy_i;\;\;c=\sum_{i=1}^n x_i^2\\ &\\ &\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i \right)^2 <= \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)\end{align}$$

Y ahora vamos con la parte de la igualdad:

Haré la demostración sin usar el editor porque se me atasca.

La demostración a izquierdas (<==) es

Si existe t tal que xi = t·yi para todo i=1,..n

(x1^2 + ... + xn^2) (y1^2 + ... + yn^2) =

(t^2·y1^2 + ... + t^2yn^2) (y1^2 + ... + yn^2) =

t^2(y1^2 + ... + yn^2)^2 =

[t(y1^2+...+yn^2)]^2 =

(t·y1·y1 + ...+ t·yn·yn)^2 =

(x1·y1+...+xn·yn)^2

Que reduciendo y escribiéndolo al revés es:

(x1·y1+...+xn·yn)^2 = (x1^2 + ... + xn^2) (y1^2 + ... + yn^2)

Y la demostración a derechas (==>) es:

Si la desigualdad es igualdad entonces el discriminante es 0 y existe una solución única t de la ecuación

(x1+t·y1)^2 + ... + (xn+t·yn)^2 = 0

Y al ser todos los sumandos no negativos deben ser todos nulos, luego

x1 = t·y1

x2 = t·y2

....

xn = t·yn

Y eso es todo.

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