Análisis matemático... Libro lima 5
tengo el lima en español... Si me das el correo te lo mando..
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Evidentemente ese sumatorio es mayor que cero por ser positivos todos los sumandos. Usaré la letra t en lugar de lambda, que a mano no cuesta nada, pero con el editor de ecuaciones cuesta mucho escribir letras griegas.
$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n(x_i+ty_i)^2 =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n x_i^2+t^2\sum_{i=1}^n y_i^2+2t\sum_{i=1}^n x_iy_i\ge 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\\ &\\ &\text {llamando}\\ &a= \sum_{i=1}^n y_i^2;\;\;b=\sum_{i=1}^n x_iy_i;\;\;c=\sum_{i=1}^n x_i^2\\ &\\ &\text{tenemos}\\ &at^2+2bt + c >=0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\\ &\\ &\end{align}$$Esto es un polinomio con valores positivos siempre y con coeficiente director (a) positivo. Si la ecuación cuadrática tuviera 2 raíces positivas los valores intermedios del polinomio serían negativos, lo cual contradice que el polinomio es siempre positivo. Luego la ecuación no puede tener 2 raíces positivas, entonces el discriminante de la ecuación de be ser no positivo
(2b)^2 - 4ac <= 0
4b^2 - 4ac <= 0
4b^2 <= 4ac
b^2 <= ac
Que traducida a sumatorios era
Espera, que pulse "enviar" por equivocación sin haber terminado.
Que traducido a los sumatorios es:
$$\begin{align}&a= \sum_{i=1}^n y_i^2;\;\;b=\sum_{i=1}^n x_iy_i;\;\;c=\sum_{i=1}^n x_i^2\\ &\\ &\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i \right)^2 <= \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)\end{align}$$Y ahora vamos con la parte de la igualdad:
Haré la demostración sin usar el editor porque se me atasca.
La demostración a izquierdas (<==) es
Si existe t tal que xi = t·yi para todo i=1,..n
(x1^2 + ... + xn^2) (y1^2 + ... + yn^2) =
(t^2·y1^2 + ... + t^2yn^2) (y1^2 + ... + yn^2) =
t^2(y1^2 + ... + yn^2)^2 =
[t(y1^2+...+yn^2)]^2 =
(t·y1·y1 + ...+ t·yn·yn)^2 =
(x1·y1+...+xn·yn)^2
Que reduciendo y escribiéndolo al revés es:
(x1·y1+...+xn·yn)^2 = (x1^2 + ... + xn^2) (y1^2 + ... + yn^2)
Y la demostración a derechas (==>) es:
Si la desigualdad es igualdad entonces el discriminante es 0 y existe una solución única t de la ecuación
(x1+t·y1)^2 + ... + (xn+t·yn)^2 = 0
Y al ser todos los sumandos no negativos deben ser todos nulos, luego
x1 = t·y1
x2 = t·y2
....
xn = t·yn
Y eso es todo.
