Operación binaria.. Inverso?

Un elemento regular a (también llamado cancelable) es el que puede ser simplificado en una igualdad cuando está operando a otro por el mismo lado. Es decir, a es regular si y solo si cuando en toda igualdad que pueda darse

ab=ac ==> b=c

y en las que

ba=ca ==> b=c

Y vamos ya con la demostración:

Tomemos dos elementos distintos b y c, entonces:

ab <> ac

Ba <>ca

<> Es la forma de decir distinto en varios lenguajes de programación, por eso lo uso.

Si operamos a con todos los elementos del conjunto A tendrá que darnos todos los resultados distintos, ya que si hubiera dos iguales no sería un elemento regular.

Como A es un conjunto finito de n elementos y hemos hecho n operaciones con resultados distintos, el conjunto de los resultados es el propio A, y habrá un único elemento que casualmente llamaré e que cumple:

ae=a

Si hacemos las operaciones Aa, y razonando de la misma forma, habrá un elemento que voy a llamar e' tal que

'ea=a

Si operamos una igualdad por la otra en cruzado

(ae)a = a(e'a)

por la asociativa

a(ea) = a(e'a)

como a es regular

ea = e'a

y como a es regular

e = e'

Luego cada elemento a tiene un elemento que operado con el no lo modifica y es el mismo por la derecha y la izquierda

Y lo siguiente es ver que ese elemento es el mismo para todos los elementos del conjunto.

Sea e el elemento que deja inalterado a a y sea g el que deja inalterado a b. Tenemos:

ae = a

gb = b

Haciendo otra vez el producto cruzado tenemos

(ae)b = a(bg)

a(eb) = a(gb)

eb = gb

e=g

Luego existe un elemento que deja inalterado a todo elemento por la izquierda y la derecha, eso es un elemento neutro.

Vamos ahora con el inverso-

Como ya razonamos antes, aA=A. Luego existirá un elemento a' tal que

aa' = e

y como Aa = A existirá un elemento a" tal que

a"a = e

vamos a comprobar que son el mismo

operamos esta segunda igualdad con a' por la izquierda

(a"a)a' = ea'

a"(aa') = a'

a"e = a'

a" = a'

Luego el elemento inverso de a es el mismo por la izquierda que por la derecha.

Y eso es todo.