¿Ayuda con superficies cuadraticass?

x^2+y^2=z^2 es claramente un cono
Porque x^2+y^2=R^2 en el plano es la ecuación de una circunferencia de 
radio R. Y al pasar eso al espacio y hacer el radio variable empezando 
por 0 y aumentando de forma lineal sale un cono. Son las dos hojas, 
tanto si z es positivo como negativo se verifica la ecuación.
x-y^2-4z^2=0 Es un paraboloide eliptico.  El corte con un plano z=k es
x-y^2-4k^2=0
x = Y^2+4k^2
Eso es una parabola, cada vez más alta en el eje X conforme aumenta z y 
la imaginación espacial me lleva a ver que eso es un paraboloide elíptico.
x^2+2y^2+z^2+4y-2z=1 
Es un poco más rara porque no debe tener el vértice en (0,0,0)
Completaremos cuadrados
x^2+2(y+1)^2-2+(z+1)^2-1=1
x^2+2(y+1)^2+(z+1)^2 = 4
Y eso es un elipsoide

Vale, todo eso lo he deducido sin consultar salvo el nombre del paraboloide que no me acordaba que fuera paraboloide elíptico. Seguramente en la teoría tendrás la caracterización de las superficies cuadráticas, basta con comparar las ecuaciones, retocarlas un poco y en todo caso completar cuadrados en alguna como he hecho yo para llegar a una forma canónica. Por suerte ninguna de ellas tenía sumandos de la forma xy, xz o yz.

Aquí es donde al final he corroborado lo que había deducido:

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/index.html

x^2+y^2=z^2 sale directamente
x-y^2-4z^2=0 lo transformamos en y^2 + z^2/(1/2)^2 = x
y está salvo que las variables están intercambiadas, este tendrá
en X el eje de crecimiento y simetría 
x^2+2(y+1)^2-2+(z+1)^2-1=1 lo habíamos dejado en
x^2+2(y+1)^2+(z+1)^2 = 4
Y de ahí lo podemois dejar en
x^2+(y+1)^2/[sqrt(1/2)]^2+(z+1)^2 = 4
Tampoco voy a llegar al extremo de canonizar tanto como para que 
en vez del 4 salga un 1, eso es innecesario.
Y es la ecuación del elipsoide salvo que el centro en vez de
ser el (0,0,0) es el (0, -1, -1)

Y eso es todo.