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Pues esto son unos ejemplos de los métodos. Ya los leí para asegurarme que entendía los métodos aunque puse ejemplos distintos. Ahora vamos a comentar los que nos ponen y hacer algunos pasos que se han saltado.
1)
11x :~28 (mod 1943)
El método era solucionar la ecuación diofántica
11r + 1943s = 28
(11, 1943) = 1 por ser 11 primo, luego 1 divide a 28 y hay solución. Y ahora a hacer el algoritmo de Euclides que no lo han puesto
1943 = 176·11 + 7
11 = 7 + 4
7= 4+3
4 = 3+1
3= 3·1+0
Desde la penúltima para arriba
1 = 4-3 =
4 - (7-4) = 2·4 -7=
2(11-7) - 7 = 2·11 - 3·7 =
2·11 - 3(1943 - 176·11) = -3·1943 + 530·11
Resumiendo
-3·1943 + 530·11 = 1
multiplicamos por 28
(-3·28)·1943 + (530·28)11 = 28
-84· 1943 + 14840·11 = 28
Y la solución era el valor r que multiplicaba a 11, luego
x :~ 14840 (mod 1943)
Que lo reducimos restándole un múltiplo de 1943
14840 / 1943 = 7.63...
14840 - 7·1943 = 1239
Luego la solución es
x :~ 1239
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2)
Aquí el método era cambiar a y/0 b por números congruentes de modo que tuvieran un factor común coprimo con m y entonces dividir.
143x :~ 4 (mod 315)
Este ejemplo es más difícil que el que puse de ejemplo.
Sumamos 315 a 4 para obtener un congruente y lo sustituimos
143x :~ 319 (mod 315)
"casualmente" ambos son múltiplos de 11 y el mcd (11, 315) = 1 luego son coprimos, podemos dividir por 11
13x :~ 29 (mod 315)
Y ahora cambian 29 por su congruente 29 - 315 = -286
13x :~ -286 (mod 315)
"y qué casualidad" 286 es múltiplo de 13 y mcd (13, 315) = 1 luego coprimos y dividimos entre 13.
x :~ -22 (mod 315)
Y tomamos el elemento canónico de la clase de equivalencia qu es el que está entre 0 y 314, para ello sumamos 315
-22+315 = 293
Y la solución es
x :~ 293 (mod 315)
3) Este era el método de reducir el coeficiente a multiplicando por el número más próximo al cociente p/a
519x :~ 311 (mod 1967)
1967 / 519 = 3.78... tomamos el 4 y multiplicamos
4·519x :~ 4·311 (mod 1967)
2076x :~ 1244 (mod 1967)
Reducimos a restando 1967
109x :~ 1244 (mod 1967)
Sobre el coeficiente b no es obligatorio reducirlo, se reduce si va a quedar un número mas pequeño para facilitar las cuentas. A mi no me gusta hacerlo esta vez porque no se gana mucho y nos pone un número negativo, pero ya que ellos lo han hecho también lo haré yo.
109x :~ -723 (mod 1967)
1967/109 = 18.04... tomamos el 18 y multiplicamos por el
18·109x :~ -18·723 (mod 1967)
1962 :~ -13014 (mod 1967)
Reducimos sumando o restando múltiplos de 1967. El primero es fácil, para el segundo hacemos
13014 / 1967 = 6.61, se toma 7 que es el más cercano
-13014 + 7·1967 = 755
-5x :~ 755 (mod 1967)
Y ahora no se emplea otra iteración del método sino que se divide entre -5 que es coprimo con 1967
X :~ -151 (mod 1967)
Y esa es la solución
Y esto es todo.
