Progresión Geométrica Infinita

No es un problema de sumas infinitas sino de finitas. El problema es que no nos piden la suma sino el número de sumandos, y eso es más complicado.

La fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica es:

$$\begin{align}&Sn = a_1\left(\frac{1-r^n}{1-r}\right)\\ &\\ &\text {en nuestro caso}\\ &\\ &S_n = 1\left( \frac{1-\left(\frac 12\right)^n}{1-\frac 12} \right)=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}\\ &\end{align}$$

Y ahora debemos hacer que esa suma difiera de 2 en menos de 0.001

La serie es de términos todos positivos, luego la suma es creciente y una vez conseguida esa diferencia se seguirá manteniendo como mínimo.

$$\begin{align}&\frac{2^n-1}{2^{n-1}}\ge2-0.001 = 1.999\\ &\\ &2^n-1 <=1.999·2^{n-1}\\ &\\ &2^n-1.999·2^{n-1}\ge 1\\ &\\ &2^{n-1}(2-1.999) \ge1\\ &0.001·2^{n-1}\ge 1\\ &2^{n-1}\ge1000\\ &\\ &\text {haciendo cuentas sabemos que n-1=10}\\ &\text{pero vamos a hacerlo como se debe}\\ &\text{extrayendo logaritmos (neperianos por ejemplo)}\\ &(n-1)ln 2 \ge ln 1000\\ &n-1 \ge \frac{ln 1000}{ln2}= 9.965784\\ &\\ &n > 10.965785\\ &\\ &n = 11\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.